Euler's Eyes
2026-10-11
ライプニッツの記号：変化を表す言語
記号には発見のための利点がある。それが最大になるのは、記号が物事の本性を簡潔に表し、いわば描き出すときである。そのとき、思考の労力は驚くほど軽くなる。
— ライプニッツ、チルンハウスへの手紙（1678）
微積分に先に到達したのはニュートンでしたが、それをどう書くかを決めたのはライプニッツでした。そして書き方がすべてを変えたのです。
文字 d
1675 年 11 月 11 日、パリで書いた手稿の中で、ライプニッツは無限に小さな差を表すのに文字 $d$ を使い始めました。$d$ はラテン語の differentia に由来し、これは「引き離す」という意味の動詞 differre から来ています。つまり、
- $dx$ は、非常に近い二つの $x$ の値の間の微小な差、
- $dy$ は、それに対応する $y$ の差、
- $\dfrac{dy}{dx}$ はその比、つまり $x$ がほんの少し変わるごとに $y$ がどれだけ変わるか、
です。「微分学」（differential calculus）という名前はここから来ています。差の計算、という意味です。
dx を使った計算
ライプニッツは $dx$ と $dy$ を、無限に小さいだけで本物の量として扱いました。$y=x^2$ で $x$ が $x+dx$ に変わるとすると、
$$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$$(dx)^2$ は $dx$ より無限に小さいので、彼はそれを無視し、$dy=2x\,dx$、つまり
$$\frac{dy}{dx}=2x$$を得ました。これはニュートンが流率で行った計算と同じで、書き方が違うだけです。今日では「$(dx)^2$ を無視する」ことを極限で正当化します。有限の差の比は $2x+h$ で、$h\to0$ のとき $2x$ に近づきます。
1684 年の論文
1684 年 10 月、ライプニッツはライプツィヒの学術誌『学術紀要』に自分の規則を発表しました。題名はとても長く、『分数量や無理量にも妨げられない、極大・極小および接線のための新しい方法、ならびにそのための特異な計算法』というものでした。誤植だらけの 6 ページの濃密な論文で、ほとんど誰も理解できませんでした。理解したのはヤコブとヨハンのベルヌーイ兄弟で、彼らこそが微積分をヨーロッパ中に広めたのです。
関数という考えは、少しずつ名前と記号を得ていきました。
| 年 | 人物 | 書き方 |
|---|---|---|
| 1637 | ルネ・デカルト | $x$ と $y$ のあいだの方程式 |
| 1671 | アイザック・ニュートン | 流量、流れる量 |
| 1673 | ライプニッツ | ラテン語の functio |
| 1718 | ヨハン・ベルヌーイ | 最初の定義：変数と定数から作られる量 |
| 1734 | レオンハルト・オイラー | 記号 $f(x)$ |
連鎖律：すばらしい省略
ある量が別の量に依存し、その量がさらに 3 つ目の量に依存するとき、ライプニッツの記号の大きな利点が現れます。まずふつうの数で見てみましょう。
$$\frac34=\frac35\cdot\frac54,\qquad \frac45=\frac43\cdot\frac35.$$真ん中の数が約分されます。数が小さくなっても、やはり約分されます。
$$\frac{0.3}{0.4}=\frac{0.3}{0.5}\cdot\frac{0.5}{0.4},\qquad \frac{0.03}{0.04}=\frac{0.03}{0.05}\cdot\frac{0.05}{0.04}.$$どれだけ数が小さくなっても、真ん中の数は消えます。一般に、$z$、$y$、$x$ が数（$y\ne0$、$x\ne0$）なら $\dfrac zx=\dfrac zy\cdot\dfrac yx$。差についても成り立ちます。
$$\frac{\Delta z}{\Delta x}=\frac{\Delta z}{\Delta y}\cdot\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$そして無限に小さな差に移ると、連鎖律が得られます。
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.$$この式は分数の単純な約分に見えます。厳密にはそうではなく、きちんとした証明には極限の注意深い扱いが必要です。でもこの記号を使えば、正しい規則を苦もなく思い出せるのです。これこそライプニッツが言う「思考の労力を省く省略」です。
例を見てみましょう。$z=y^2$、$y=3x+1$ なら、
$$\frac{dz}{dy}=2y,\qquad\frac{dy}{dx}=3\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dz}{dx}=2y\cdot3=6(3x+1).$$ニュートンの記号では、同じ規則を言葉で説明するか、もっと注意深く書く必要があります。ライプニッツの記号なら、規則はほとんどひとりでに書けてしまいます。
なぜこの記号が勝ったのか
大陸の数学者たちはライプニッツの $d$ を採用し、微積分はベルヌーイ家、オイラー、ラグランジュの手で急速に発展しました。イギリスではニュートンへの忠誠から 100 年以上も点の記号が使われ続け、イギリスの数学は遅れをとりました。今日では両方を使います。微積分では $\dfrac{dy}{dx}$、物理学では $\dot x$ です。
練習：連鎖律で y = (2x + 5)² を微分せよ
$u=2x+5$ とすると、$\dfrac{dy}{du}=2u$、$\dfrac{du}{dx}=2$。したがって $\dfrac{dy}{dx}=2u\cdot2=4(2x+5)$。
練習：球形の風船の半径が r = 2t（cm、t は秒）のとき、t = 1 で体積はどれだけの速さで増えているか？
$V=\frac43\pi r^3$ なので $\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2$、$\dfrac{dr}{dt}=2$。連鎖律より $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot2$。$t=1$ で $r=2$ なので、$\dfrac{dV}{dt}=32\pi\approx100.5$ cm³/s。
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