Euler's Eyes
2026-10-11
類似する事例（基準）
2 つの三角形が相似であることを確認するために、すべてをチェックする必要はありません。2 つの角度、または辺間の 3 つの比率で十分です。
発見者
3 つの基準は、ユークリッド の 原論 の書 VI にあります (c. 300 BC)。 三角形 等角 は比例した辺を持ちます (VI.4、ケース AA)、三角形は 3 つの辺を持ちます。比例辺は相似であり (VI.5、LLL)、間の角度が等しい 2 つの比例辺でも十分です (VI.6、LAL)。ずっと以前から、 伝統では物語 がアクセスできない距離を測定するために同じ形の三角形を使用したとされています。
歴史
類似性の基準は国全体を測定する三角測量というツールでした。 1615 では、 オランダ人のヴィレブロルド・ スネリウス がアルクマールとベルゲン・オプ・ズームの間の距離を三角形の連鎖で測定し、地球の大きさを推定しました。 18 世紀にカッシーニ家が同様の方法でフランス初の一般地図を作成しました。
AA のケースは特に強力です。簡単な機器を使用して、遠くからでも 2 つの角度を測定でき、すべての面の比率が保証されます。
日常生活での応用
- 川の幅。 岸辺には、杭と照準器が付いた 2 つの似た三角形がマークされています。川を渡る側は比率で計算されます。
- カメラ オブスキュラと目。 物体とその画像は、穴の頂点で対向する相似の三角形を形成します (ケース AA)。
- スロープと階段。 同じ傾斜の 2 つのスロープは、長さに関係なく、同様のプロファイルを持ちます。
- 正方形 同じ角度 (45° または 30° と 60°) を持つ異なるサイズの正方形は相似です。
出典: 要素、命題 VI.4 · 要素、命題 VI.6 · Snellius (MacTutor)。
理論と作図
定理1 番目のケース — AA (2 つのアングル)
2 つの三角形が規則的に合同な2 つの角 を持っている場合、それらは相似です (したがって、比例した相同な辺を持ちます)。
デモ。 一致しない場合は、$AB > A^{\prime}B^{\prime}$ を想定し、$\overline{AB}$ の $D$ と $AD = A^{\prime}B^{\prime}$、および $\overline{AC}$ の $E$ と $\hat{D} \equiv \hat{B}^{\prime}$ をとります。 ALA、$\triangle ADE \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 著。 $\hat{D} \equiv \hat{B}^{\prime} \equiv \hat{B}$、$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$、基本定理より $\triangle ABC \sim \triangle ADE \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ となります。
定理2 番目のケース — LAL (辺と角度の比例)
三角形の 2 つの辺が別の辺に比例し、構成する角度が合同であれば、三角形は相似です。
定理3 番目のケース — LLL (3 つの比例辺)
2 つの三角形が相似な比例辺を持っている場合、それらは相似です。
2 番目と 3 番目のケースの実証は、ALA の代わりに合同ケース LAL と LLL を使用して、1 番目のケースと類似しています。
例平行ではないペア
本図では、$\hat{S} \equiv \hat{B}$ は $AB = 10$ cm、$BC = 8$ cm、$AC = 14$ cm、および $AS = 5$ cm です。 $\overline{RS}$ は $\overline{BC}$ と平行ではありません。それでも$\hat{A}$が多いので$\triangle ARS \sim \triangle ACB$(ケースAA)。相似な辺、つまり対向する等しい角度を使用して比率を組み立てます。
$$\frac{x}{8} = \frac{5}{10} = \frac{y}{14} \Rightarrow RS = x = 4 \text{ cm e } AR = y = 7 \text{ cm}.$$まとめ類似率をkとすると
次に、相同辺、周長、相同高さ、相同中央値、角の二等分線 相同内数、内接円と外接円の半径 —任意の相同直線要素のペア間の比 $k$ と相同角は合同です。
