2 つの円は、割線、接線、一方が他方の内側にある、または遠く離れていることができます。中心間の距離によってどちらが当てはまるかが決まります。

発見者

基本的なケースは次のとおりです 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 2 つの異なる円が最大 2 点で交差します (命題III.10)、接触すると、接点は中心を結ぶ直線上になります (III.11 および III.12）。一世紀後、 ペルガのアポロニウス 彼は、この主題に関する最も有名な問題を提案しました。それは、3 つの円が与えられた場合、そのすべてに 4 番目の接線を引きます。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。
ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

アポロニウスの接線に関する本は紛失しました。 1600 では、 フランス人のフランソワ・ ビエットが定規とコンパスを使って解を再構築し、この問題はニュートン、オイラー、ガウスによって研究され始めました。一般に8 つの解決策があります。

フランソワ・ヴィエテ。
フランソワ・ヴィエテ。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
アイザック・ニュートン。
アイザック・ニュートン。ゴッドフリー・ネラー (1646–1723) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
レオンハルト・オイラー。
レオンハルト・オイラー。ヤコブ・エマニュエル・ハンドマン (1718–1781) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
カール・フリードリヒ・ガウス。
カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

アポロニウスの問題は 20 世紀に再び取り上げられました。3 つの既知のステーションまでの距離から点を見つけることは、この問題に関連しており、無線位置特定技術ではこの推論が使用されています。

日常生活での応用

  • ギアとプーリー。 連動するスプロケットは接円でモデル化されます。軸間の距離は半径の合計です。
  • オリンピックの輪とベン図 割円は共通の要素を持つ集合を表します。
  • 水の中の波。 湖に投げられた 2 つの石は、2 点で交差する円形の波を生成します。
  • 携帯電話の位置。 2 つのアンテナまでの距離がわかっているため、端末は円周が交差する 2 つの点のうちの 1 つにあります。 3 番目のアンテナが疑いを払拭します。

出典: 要素、命題 III.10 · アポロニウス (MacTutor) · ヴィエテ (MacTutor)。

理論と作図

まとめ2つの円

$\lambda_1(O_1, r_1)$ と $\lambda_2(O_2, r_2)$ の場合、$r_1 > r_2$ と $d$ は中心間の距離です。

状態 位置
$d < r_1 - r_2$ $\lambda_2$ から $\lambda_1$ まで内周 （$d = 0$ の場合は同心）
$d = r_1 - r_2$ 内接線
$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ セカント (2 つの共通点)
$d = r_1 + r_2$ 外部接線
$d > r_1 + r_2$ 社外
中心$O_2$をドラッグして半径を変更します。下のルーラーは、$d$ が $r_1 - r_2$ および $r_1 + r_2$ に対してどこにあるかを示します。