缶に紐を巻きつけて直径いっぱいに伸ばすと３ 倍強くらい入ります。これは、あらゆる缶、ホイール、コインに当てはまります。この「３強」 がπ という数字になります。

発見者

円の輪郭が直径の 3 倍より少し大きいことは、4 000 年ほど前にバビロニア人とエジプト人によってすでに知られていました。 3、$3\tfrac{1}{8}$、3,16 などの値が使用されました。最初に確実にπ を計算したのはシラクサのアルキメデス (紀元前3世紀) で、辺が96の多角形を用いて、πが$3\tfrac{10}{71}$と$3\tfrac{1}{7}$の間にあることを証明しました。 π という記号はウェールズ人のウィリアム・ ジョーンズが1706で使用し、 普及させたのはレオンハルト・ オイラーです。

歴史

アルキメデスは円を内側と外側の 2 つの多角形で囲み、辺の数を 6、12、24、48、96 の 4 倍にしました。ポリゴンの周囲は下から上から輪郭に近づきます。

5 世紀に中国の祖崇志は 3,1415926 < π < 3,1415927 に達し、その記録はほぼ千年続きました。今日、π の小数点以下の何兆桁もコンピューターによって計算されることが知られていますが、エンジニアリングのほぼすべての場合、3,14159 で十分です。

日常生活での応用

  • 車輪と走行距離計。 各回転ごとに、車輪はその長さ $C = 2\pi r$ を移動します。車のダッシュボードがラップをカウントします。
  • 自転車。 リム 29 のホイールとタイヤの直径は約 74 cm で、1 回転あたり約 2,3 m 移動します。
  • 陸上競技場 外側の車線はカーブが長いため、より前から始まります。
  • 裁縫師のメジャー ウエストを測ることは「周囲」を測ることです。

式

半径を選択し、ホイールを 1 回転させます。展開された赤い部分が円周です。黄色のマークは直径です。

定理周囲の長さ

円の長さ $C$ とその直径 $d$ の比率は常に同じ数値 $\pi \approx 3{,}14159$ になります。このような、

$$C = \pi \cdot d = 2\pi r.$$

性質円弧の長さ

$\alpha$ 度の円弧は円周の $\tfrac{\alpha}{360}$ の部分です。

$$\ell = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r.$$

比率 $C/d$ がすべての円で同じであることの実証は、多角形の相似性を使用しており、[円の長さの章](/jp/posts/basic/geoplan/ensino-medio/）高校から。

練習問題

1

半径10cmの円の長さを計算します($\pi \approx 3{,}14$を使用)。

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$C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8\ \text{cm}$

2

円卓の外形は157cmです。テーブルの直径はどれくらいですか？

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$d = \dfrac{C}{\pi} = \dfrac{157}{3{,}14} = 50\ \text{cm}$

3

直径 70 cm の車輪は 1 km 移動します。大体何回転くらいでしょうか？

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各周: $C = 3{,}14 \cdot 0{,}7 \approx 2{,}2\ \text{m}$。ターン: $1\,000 \div 2{,}2 \approx 455$。

4

半径12cmの円における90°の円弧の長さはいくらですか?

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$\ell = \dfrac{90}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 12 = 18{,}84\ \text{cm}$

正しいか、誤りか？

  1. 円の輪郭の直径は 3 をわずかに超えます。
  2. π は正確に 3,14 です。
  3. 半径を2倍にすると、円の長さも2倍になります。
  4. 180°の円弧は 2πr になります。

出典: アルキメデス (MacTutor) · Zu Chongzhi (MacTutor) · π の歴史 (MacTutor)。