OBMEP 2021 - 第 1 フェーズ

IMPA ポータルビデオ - 6 年生の演習

OBMEP 2021 - レベル 3

演習 1:

下の櫛の中にある小さな黒い家は蜂蜜でいっぱいですが、小さな白い家は空です。空き家の数が蜂蜜のある家の数と等しくなるためには、ミツバチは何軒の空き家に蜂蜜を満たさなければなりませんか?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

答え: B
合計: 14 個の小さな家
対物レンズ：7白と7黒。
2 個の小さな白い家は黒くなるはずです。

演習 2:

サイコロの向かい合う 2 つの面の数字の合計は 7 です。 3 つの面の見えない数字の合計はいくらですか?

(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 14
(E) 15

答え: E
顔が見えない:
- 番号 6 (1 の反対)
- 番号 5 (2 の反対)
- 番号 4 (3 の反対)
目的: 目に見えない数値の合計。
$$S=6+5+4=15$$

演習 3:

0,37 より大きく、0,7 より小さい数値はどれですか?

(A) 0,307
(B) 0,073
(C) 0,737
(D) 0,377
(E) 0,703

答え: D
声明：
- 最小値: 0,37
- 最大値: 0,7
目的: 0,37 と 0,7 の間の数字は何ですか。

最初に、次のことを覚えておく価値があります。

$$0,37 = 0,370$$

$$0,7 = 0,700$$

数学的表記では次のようになります。

< は小なり記号です (記号を切り取ると 4 のようになります)。
**** は大なり記号です (記号を切り取ると 7 のようになります)。

次のステップは、番号を順序付けることです。

$$\underbrace{0,073}_{\text{resposta B} } < \underbrace{0,307}_{\text{resposta A} } < \underbrace{0,370}_{\text{texto (Enunciado)} } < \underbrace{0,377}_{\color{red}{\text{resposta D (correta)} } } < \underbrace{0,700}_{\text{texto (Enunciado)} } < \underbrace{0,0703}_{\text{resposta E} } < \underbrace{0,737}_{\text{resposta C} }$$

演習 4:

ロベルトはガレージに新しい床を張りました。彼は買った白と黒のタイルをすべて使いました。各白いタイルのコストは R$ 5,00、各黒いタイルのコストは R$ 2,00 です。彼はタイルの購入にいくら使いましたか?

(A) R$ 85,00
(B) R$ 88,00
(C) R$ 145,00
(D) R$ 150,00
(E) R$ 175,00

答え: B
声明：
- 白いタイルのコスト R$ 5,00
- 黒タイルのコスト R$ 2,00
目的: タイルの購入にいくら費やしましたか。
白いタイル:
- コスト R$ 5,00
- 白タイルの数: 6 $$\text{Ladrilho Branco} = LB = R\$ 5 \times 6 = R\$ ~ 30,00$$
黒いタイル:
- コスト R$ 2,00
- 白タイルの数: 29 $$\text{Ladrilho Preto} = LP = R\$ 2 \times 29 = R\$ ~58,00$$

$$\text{Total gasto} = T = 30+58 = 88$$

$$\text{Total gasto} = R\$~ 88,00$$

演習 5:

文具店では、鉛筆やペンを 6 単位のケースで販売しています。単価が変わらない場合、鉛筆3本とペン2本のケースはいくらになりますか？

(A) 20
(B) 22
(C) 23
(D) 24
(E) 30

答え: C
声明：
- 6 ペンのケースの価格は R$ 42,00
- 6 鉛筆付きケースの価格は R$ 18,00
目的: 3 個の鉛筆と 2 個のペンが入った筆箱の値段はいくらですか。
各鉛筆のコスト:
- R$ 18,00 を 6 で割った = R$ 3,00
各ペンのコスト:
- R$ 42,00 を 6 で割った = R$ 7,00
3本の鉛筆のコスト:
- R$ 3,00 掛ける 3 = R$ 9,00

$$C = 3\times 3=9$$

2 本のペンのコスト:
- R$ 7,00 掛ける 2 = R$ 14,00

$$L = 7\times 2=14$$

したがって、3 鉛筆と 2 ペンの場合は次のようになります。

$$\text{Estojo} = E = C + L = 14 + 9 = 23$$

$$\text{Estojo} = R\$ 23,00$$

演習 6:

マルガリーダは、テーブルの 8 つの空きスペースに 1、2、3、4 の数字を埋めました。彼女はこれを実行し、どの行にもどの列にも 2 つの同じ数字が表示されていないことに気づきました。表の四隅に表示される数字の積は何ですか?

(A) 20
(B) 22
(C) 23
(D) 24
(E) 30

答え: E
目的: 表の4の隅にある数字の積は何ですか。

解決策 1: アルゴリズム:

このボックスの周囲には 1、4、3 があるため、左上のボックスに数字 2 を入力します。
右上のボックスに数字 3 を入力します。その前の数字は 2、1、4 です。
他のものはこの考えに従い、次の形式で構成されています。

数値の積は数値間の乗算に等しいことを覚えておく価値があります。このようにして、以下が得られます。

$$\text{Produto} = P = 1\times 2\times 3\times 4\times = 24$$

解決策 2:

数独の数字は繰り返されません。この場合、コーナーの選択肢は 1,2,3,4 のみになります。

$$\text{Produto} = P = 1\times 2\times 3\times 4\times = 24$$

演習 7:

折り目を残さずに、一枚の紙を小さな正方形にオープンカットします。彼は、それぞれ 400 cm² に等しい面積の正方形を 4 つ、面積 100 cm² の 9 正方形をそれぞれ、そしてそれぞれ 25 cm² の小さな正方形 21 を切り出しました。アルベルトがカットする前のシートの側面の寸法はいくらですか?

(A) 25
(B) 30
(C) 40
(D) 50
(E) 55

答え: E
声明：
- 面積 400 cm² の 4 正方形を切り取ります
- 面積 100 cm² の 9 正方形を切り取ります
- 面積 25 cm² の 21 正方形を切り取ります
目的: アルベルトがシートをカットする前の、シートの側面の寸法はどれくらいですか。

面積の計算:
- 面積 400 cm² の 4 正方形を切り取ります
  $$A_1 = 4\text{ quadrados } \times 400 ~cm^2 = 1600 ~cm^2$$
- 面積 100 cm² の 9 正方形を切り取ります
  $$A_2 = 9\text{ quadrados } \times 100 ~cm^2 = 900 ~cm^2$$
- 面積 25 cm² の 21 正方形を切り取ります
  $$A_3 = 21\text{ quadrados } \times 25 ~cm^2 = 525 ~cm^2$$
- 合計：
  $$\text{Área total} = A_T = A_1 + A_2 + A_3 = 1600 + 900 + 525 = 3025 ~cm^2$$

演習 8:

ドミノゲームは、28 個の異なる長方形のピースで構成され、それぞれが 2 つの正方形に分割されます。それぞれのマス目に0～6のドットが出現します。総玉数が7以上の駒は何個ありますか？

(A) 9
(B) 10
(C) 12
(D) 21
(E) 24

答え: C
声明：
- 28 個の異なる長方形のピース。
- それぞれ2個の正方形に分割されます。
- 各マスには0から6までの数字が表示されます。次の例では、四角の中にそれぞれ4と1が表示されます。
目標：玉の総数が7個以上ある駒が何個あるか。

ビー玉の総数が7個以上となるビー玉の組み合わせは以下の通りです。

演習 9:

パトリシアは、同じ正方形から作られた 5 枚のボール紙を持っています。4 つはそれぞれ 2 つの正方形で、もう 1 つは単一の正方形です。彼女はこれらのピースで正方形を作り、その上にアルファベットの最初の9文字を書きました。確実に言えるのは、この文字は 1 つの正方形の部分に対応しているということです。

(A) は母音です。
(B) は文字 C です。
(C) は文字 G です。
(D) は文字 B、D、F、H のいずれでもありません。
(E) 正方形の隅にある文字の 1 つです。

答え: D
声明：
- 同じ正方形から作られた 5 個の段ボール片:
  - 4 と 2 の正方形
  - 1と1の正方形

次の組み合わせでは、回答 A、B、C、E が除外されます。チャレンジ

それが D であることを証明するために、不条理なことに、対象となる作品が B であると仮定してみましょう。チャレンジ

B ピースの次に可能なダブルピースの唯一のオプション。チャレンジ

次の二重部分を埋めることが残っています。 (E、H)、(G、H)、または (H、I) を選択できます。一般性を失わずに a (E, H) を選択しましょう。チャレンジ

このように、正方形 G と I をダブルピースで覆うことは不可能です。同様に、D、F、または H についても同じことができます。

演習 10:

この図では、大きな正方形が 25 個の等しい正方形に分割されています。灰色の領域は、大きな正方形の面積の何分の１に相当します。

(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 2/5
(D) 3/5
(E) 1/25

答え: C

図に示すように、対称の部分を転送するだけです。チャレンジ

$$\frac{2\text{ altura} }{5\text{ base} }= \frac{2}{5}$$

演習 11:

キシャジュバのコミュニティでは、スポーツコートを改修するための募金活動が行われました。グラフは何人が同じ金額をレアルで寄付したかを示しています。たとえば、40 人が 30 レアルを寄付しました。集まった資金の総額はレアルでいくらですか?

(A) 4000
(B) 5000
(C) 5100
(D) 6000
(E) 6100

答え: E

$$\text{Arrecadação} = 10\times 100 + 30 \times 20 + 40\times 30 + 20\times 40 + 50 \times 50$$

$$\text{Arrecadação} = 1000 + 600 + 1200 + 800 + 2500$$

$$\text{Arrecadação} = 6100~\text{ reais} $$

演習 12:

体操競技会では、次のように 1 位と 2 位のみが分類されます。両方とも 1 位になることもできますが、この場合は誰も 2 位になることはありません。そのうちの 1 つが最初に来て、もう 1 つが 2 番目に来ます。アルミラ、ベタニア、セシリア、ディノラ、エスメラルダがこの競技会に参加します。分類できる方法は何通りありますか?

(A) 5
(B) 15
(C) 20
(D) 30
(E) 120

答え: D
声明：
- 2人が私を最初に捕まえることができます。 2番目に来る人はいません。
- 1 が最初に来て、もう一方が 2 番目に来ます。
- 競合他社:
  - A = アルミラ、
  - B = ベサニー、
  - C = セシリア、
  - D = ディノラ、
  - E = エメラルド。最初の可能性は、アルミラと他の人たちです。

アルミラがすでにそうだったように、ベルミラを勝者としましょう: チャレンジ

アルミラとベルミラがすでにそうであったように、セシリアを勝者としましょう: チャレンジ

アルミラ、ベルミラ、セシリアと同様に、ディニラを勝者とします。繰り返しは無効であるため、ディノラが勝者であるか、エスメラルダが勝者であるかに違いはありません。チャレンジ

したがって、勝利の可能性または (1 位、1 位) の可能性として (AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE) が得られます。

これで、(1 回目、2 回目) の繰り返しの可能性が有効になります。つまり、(AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE) の 2 倍になります。

$$\text{Total} = \underbrace{10}_{\text{(primeiro, primeiro)} } +\underbrace{2\times 10}_{\text{(primeiro, segundo)} } = 30~\text{possibilidades}$$

演習 13:

正しい平等を得るために、円と四角の中にこの順序で配置しなければならない記号は何ですか?

(A) = e x
(B) x e =
(C) = e +
(D) + e =
(E) = e -

答え: E
Aさんの計算（間違い）：
$$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} \times \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{12}\neq 1$$
B の計算 (間違っています):
$$\frac{7}{12}\times \frac{8}{6} = \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{9}\neq \frac{3}{4}$$
Cさんの計算（間違い）：
$$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} + \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{12}\neq \frac{25}{12}$$
D の計算 (間違っています):
$$\frac{7}{12}+ \frac{8}{6} = \frac{3}{4}$$

$$\frac{23}{12}\neq \frac{3}{4}$$
E のキャッシュ (右):
$$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} - \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{12}= \frac{8\times \color{red}{4} }{6\times \color{red}{4} } - \frac{3\times \color{red}{6} }{4\times \color{red}{6} }=\frac{32}{24} - \frac{18}{24} $$

$$\frac{7}{12}= \frac{14}{24}= \frac{7 \times \color{red}{2} }{12 \times \color{red}{2} }$$

演習 14:

アルフレドは次の方法でパスワードを考案します。

5 文字のシーケンスを選択します

次に、次の表を使用して文字をエンコードし、選択したシーケンス内の文字を 2 つのアルゴリズムの数字に交換します。文字 A は 05 としてエンコードされ、文字 B は 06 としてエンコードされ、文字 Z が 47 としてエンコードされるまで続きます。

あるパスワードを作成する際、得られた数字が前後していたのですが、アルフレドは1、2、4、4、4、5、6、7、8、8であることに気付きました。このパスワードでは、暗号化された文字の間が現れると言うのが正しいです。

(A) 文字 F
(B) 文字 G
(C) 文字 H
(D) 文字 L
(E) 文字 Z

答え: E

手紙	成文化
A	05
B	06
C	07
D	08
E	09
F	15
G	16
H	17
I	`18`
J	19
L	25
M	26
N	27
O	`28`
P	29
Q	35
R	36
S	37
T	38
U	39
V	45
X	46
Z	`47`

次のテキストに注目してください。

4 (単位は 4) で終わる数字で文字をエンコードすることはできません。
4 (10 の位は 4) で始まる文字は X、Y、Z です。
このようにして、Alfredo のパスワードに Z が表示されます。
他の文字は I と O です。

演習 15:

先週、ズルミラおばさんは近所の店で 12 個の毛糸ボールと 18 個のボタンを購入しました。あなたの購入額は合計 36 レアルでした。今日、彼女は店に戻ってきて、ボールはセール中で、ボタンはまだ同じ価格であることに気づきました。彼女はこれを利用して、36 個の毛糸玉と 54 個のボタンを購入し、合計 72 レアルを費やしました。その店は各ボールにいくらの割引を与えましたか?

(A) R$ 0,25
(B) R$ 0,50
(C) R$ 0,75
(D) R$ 1,00
(E) R$ 1,25

答え: D
声明：
- 1 が購入した日:
  - 12 個の毛玉
  - 18ボタン
  - 合計支出額 36 レアル
- 2 が購入した日:
  - 36 個の毛玉
  - 54ボタン
  - 合計支出額 72 レアル

ご了承ください：

2 が購入した日:
- 36 個の毛糸玉 = 3 x 12 個の毛糸玉
- 54ボタン = 3×18ボタン
- 合計支出額 72 レアル
2 回目の購入の割引なしの価格は、最初の購入の価格の 3 倍になります。
- 3 x 36 = 108
支払総額との差:
- 108 - 72 = 36 実数
2 回目の購入では 36 個のボールが購入されたため、割引は 36 レアルでした。
- 36 を 36 で割った割引は、1 ボールあたりの実質 1 の割引よりも割引になります。

演習 16:

頭に 7 個の触角を持つ火星人もいれば、9 個の触角を持つ火星人もいます。火星人乗組員が乗る空飛ぶ円盤では、頭部にあるアンテナの総数は69個になります。この空飛ぶ円盤にはまさにそれが存在すると言えます。

(A) 6 火星人
(B) 9 火星人
(C) 10 火星人
(D) 11 火星人
(E) 12 火星人

答え: B

7 アンテナを持つ火星人と 9 アンテナを持つ火星人の合計は次の式で求められます。

$$ \begin{aligned} \underbrace{7 m_1}_{M_7} + \underbrace{ 9 m_2}_{M_9} &= 69 \\ M_7 + M_9 &= 69 \\ \end{aligned} $$

次のステップは、69 を分解することです。

$$69 = 3\times 13$$

このようにして、私たちは次のことを行う必要があります。

火星の合計は 3 の倍数です。
ゼロをセットにすることはできません。
69 よりも大きい 81 が得られるため、m2 回 9 を破棄します。

理解するために、組み合わせを構築してみましょう。

マルチアーノ 7 アンテナ (m1)	マルチアーノ 9 アンテナ (m2)	和
1	3	$$1\times 7 + 3\times 9 = 7 + 27 = 34$$
1	6	$$1\times 7 + 6\times 9 = 7 + 54 = 61$$
3	1	$$3\times 7 + 1\times 9 = 21 + 9 = 30$$
3	3	$$3\times 7 + 3\times 9 = 21 + 27 = 48$$
3	6	$$3\times 7 + 6\times 9 = 21 + 54 = 75$$
`6`	`3`	$$6\times 7 + 3\times 9 = 42 + 27 = 69$$

したがって、

$$m_1+m_2 = 3+6=9$$

演習 17:

ジョアンは黄色、ベージュ、グレーの 3 個の鉛筆を持っています。彼は、共通の辺を持つポリゴンが同じ色にならないように、下の図面をペイントしたいと考えています。彼は何種類の異なる方法で絵を描くことができますか?

(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 24
(E) 36

答え: C
ケース 1:

I を描画するには 3 の可能性を想定します。
これでIと同じIIIを塗装できる可能性が1あります。
II は I や III とは異なる色にする必要があるため、2 個の可能性があります。
IV は I や III とは異なる色にする必要があるため、2 個の可能性があります。

それから、

$$C_1 = 3\times 1\times 2\times 2 = 12$$

ケース 2:

I を描画するには 3 の可能性を想定します。
これにより、Iとは異なるIIIを描く可能性が2可能になります。
IIは残りの色なので1の可能性がございます。
残りの色なのでIVは1の可能性がございます。

それから、

$$C_2 = 3\times 2\times 1\times 1 = 6$$

したがって、合計は次のとおりです。

$$\text{Total} = C_1+C_2 = 12+6=18$$

演習 18:

長方形 PQRS の周囲長は 76 cm で、図では文字 A ～ I で示されている 9 つの小さな長方形に分割されています。長方形 B、D、F、および H の周囲長がそれぞれ 22、18、32、および 26 cm であることがわかっていると、領域 E の周囲長はいくらでしょうか?

(A) 16 cm
(B) 20 cm
(C) 22 cm
(D) 24 cm
(E) 26 cm

答え: C 対称性により、次のことがわかります。

この場合、長方形の周囲の 1 つを幾何学的に表示します。

$$\text{Perímetro}_D = 2a+ 2e = 18$$

同様の方法で:

$$\text{Perímetro}_B = 2b+ 2d = 22$$

$$\text{Perímetro}_F = 2c+ 2e = 32$$

$$\text{Perímetro}_H = 2b+ 2f = 26$$

要約すれば：

$$ \begin{cases} 2a+ 2e = 18\\ 2b+ 2d = 22\\ 2c+ 2e = 32\\ 2b+ 2f = 26\\ \end{cases} $$

2 辺を追加すると、次のようになります。 $$$$

$$ \begin{aligned} (2a+2e) + (2b+ 2d) + (2c+ 2e) + (2b+ 2f) &= 18 + 22+ 32+ 26 \\ (2b + 2e) + (2b+ 2d) + (2c+ 2a) + (2b+ 2f) &= 98 \\ (2b + 2e) + \underbrace{2a + 2b+ 2c + 2d + 2e + 2f}_{\text{perímetro do retângulo grande } = 76 } &= 98\\ \underbrace{(2b + 2e)}_{\text{Perímetro}_E} + 76 &= 98\\ \text{Perímetro}_E + 76 \color{red}{-76} &= 98\color{red}{-76}\\ \text{Perímetro}_E &= 22\\ \end{aligned} $$

Euler's Eyes