集合論には、公理理論と素朴理論という 2 つの研究領域があります。公理的翼は、オブジェクトのコレクションとしてのセットの非公式な理解に依存しています。 19 世紀末によく開発された素朴なアプローチは、命題、補題、定理、および帰結を伴う実証可能な形式として集合を扱います。集合論は数学、特に次のような現代理論において非常に重要です。

  • 数字
  • 関係
  • 機能

仕様公理

公理は数学の基礎です。ただし、集合に対するあらゆる演算がラッセルのパラドックスなどのパラドックスにつながる可能性があると仮定すると。公理理論は、セットにどの演算が許可されるかを決定する際の基礎でした。

仕様公理によれば、集合 $A$ が存在し、この集合の要素をプロパティで記述できる場合、これらの要素を含む $A,$ の部分集合である集合 $B$ が存在します。

仕様公理: $A$ を集合、$p(x)$ を $x$ の命題とし、量指定子と変数の観点から次のように表現する必要があります。

  • 量指定子: $\wedge, \vee$ など
  • 変数: $x, y, A, B, dots$

次に、$p(x)$ を true にする $A$ のすべての要素 $x$ の一貫性を生成するセットがあります。より具体的には

$$\\{x \in A; ~p(x) ~\text{é verdadeira}\\}$$

この公理はリチャードのパラドックスなどの意味論的なパラドックスを回避するために非常に重要です。リチャードのパラドックスで説明されている集合は、仕様公理からは構築できません。これは、公理の性質が論理演算子と一部の量指定子に制限されているためです。

ラッセルのパラドックス

この公理のもう 1 つの興味深い応用例は、次のことを保証することです。 すべての集合を含む集合は存在しないということです。 。したがって、B /∈ U、つまり、 宇宙セット。この結論に至った議論はパラドックスと呼ばれます ラッセル著、

ユークリッドの作品。

ラッセルのパラドックスは、集合論のいくつかの特性を理解するために非常に重要です。これから、仕様公理を適用して、すべての集合を含む集合は存在しないことを示すことができます。ラッセルの議論に注目してください。

ラッセルのパラドックス: ある街に、自分で毛を剃らない男性だけを剃る理容師がいます。床屋の髭を剃るのは誰ですか?

これにどう対応すればよいでしょうか?

すべての要素が集合である集合、つまり宇宙集合があるとします。

$U$ をユニバースセットとします。

したがって、仕様公理から、セットを構築できます。

$$B = \\{x \in U; x\notin x\\}$$

目的は if$B\in U.$ をチェックすることです。これにより、2 つの可能性が考えられます。

  • $B\in B$ または
  • $B\notin B$
  1. $B\in B$の場合、$B,$を指定すると$B\notin B$になります。
  2. $B\notin B$の場合は$B\in B$

したがって、私たちは矛盾を抱えています。

セットの構築

これまで見てきたことから、仕様公理は集合論にとって非常に重要であり、それから次のようないくつかの重要な集合を構築することができます。

  • 空の
  • 団結
  • 交差点
ユークリッドの作品。

空のセット

定義: 集合は空であると言われ、$\emptyset$ で示され、要素を持たない集合であり、この集合の存在は仕様公理によって保証されています。

実際、任意のセット $A,$ を考えると、

$$\emptyset = \\{x \in A; x \neq x\\}.$$
ユークリッドの作品。

提案 すべてのセット $A,$ に対して、$\emptyset \subseteq A.$ があります。

デモ:

$\emptyset \subseteq A$ または $\emptyset \cancel{\subseteq} A.$ のいずれかであること、およびこれらの可能性が相互に排他的であることはすでにわかっています。

したがって、$\emptyset \cancel{\subseteq} A.$ は不可能であることを示す必要があるだけです。

$\emptyset \cancel{\subseteq} A$ が発生するには、$x \in \emptyset$ と $x \notin A.$ のような要素 $x$ が存在する必要があります。しかし、$\meptyset$ には要素がないため、そのような $x$ は存在できません。

したがって、$\emptyset \cancel{\subseteq} A$ の可能性は発生せず、$\emptyset \subseteq A$ の可能性のみが残りますが、これは真であるはずです。

$\square$

団結

定義: $A$ と $B$ を任意の 2 つの集合とし、$x$ が 2 つの集合 $A$ または $B.$ のいずれかに含まれるように、要素 $x$ によって形成される集合 $A\cup B,$ で示される $A$ と $B,$ の和集合を定義します。

$$A \cup B = \\{x; ~x \in A \vee x \in B\\}$$
ユークリッドの作品。

交差点

定義: $A$ と $B$ を任意の 2 つの集合とし、$A\cap B,$ で示される $A$ と $B,$ の共通部分は、要素 $x$ によって形成される集合であり、$x$ は両方の集合 $A$ と $B.$ に含まれます。

$$A \cap B = \\{x; ~ x \in A \wedge x \in B\\}$$
ユークリッドの作品。

重要な結果

私、オイラーは数学者として、集合 $A\cap B$ と $A\cup B$ の存在を保証する必要があります。これらの集合は仕様公理によって保証されています。定義から、次の論理的等価性が導き出されます。

$$x \in A \cup B \quad \Leftrightarrow \quad (x \in A \vee x \in B)$$$$x \in A \cap B \quad \Leftrightarrow \quad (x \in A \wedge x \in B)$$

以下にいくつかの重要な結果を紹介します。

定理 1 $A$ と $B$ を任意の集合とします。それから：

  • a) $A \subseteq A \cup B \text{ e } B \subseteq A \cup B$
  • b) $A \cap B \subseteq A \text{ e } A \cap B \subseteq B$
  • c) $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \text{ e } A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A$
  • d) $A \cup (B \cap A) = A \text{ e } A \cap (B \cup A) = A.$

デモ:

(a) 定義上、この項目は次のことを示すことに相当します。

$$x \in A \Rightarrow x \in A \cup B$$

実際、この結果は次と同等です。

$$x \in A \rightarrow (x \in A) \vee (x \in B)$$

この文はタイプの含意であるためトートロジーです。

$$p \rightarrow p \vee q$$

(b) も同様に構成されていますが、いくつかの点を変更するだけです。これがエクササイズです😂😂😂

(c) この項目のうち $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B$ のみを表示します。もう 1 つは練習用です 😂😂😂

トートロジー $(p \Leftrightarrow q) \quad \Leftrightarrow \quad (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p),$ が有効であることに注意してください。

結果を表示する前に、$\Leftrightarrow$ は往復を表示する必要がある if であり、if のみであることを覚えておく価値があります。つまり、次のとおりです。

  • 出発: $\Rightarrow$
  • 戻り値: $\Leftarrow$

移動 $(\Rightarrow)$ $A \subseteq B,$ 次に $A \cup B = B$

セットが等しいためには、$A \cup B \subseteq B$ と $B \subseteq A \cup B.$ を示す必要があることに注意してください。

2 番目の包含は (a) から続きます。

最初に $x \in A \cup B,$、次に $x \in A \wedge x \in B.$ とします。

仮説により$x \in A,$ならば、このように$A \subseteq B,$が得られます$x \in B.$

したがって、どちらの場合も希望どおり $x \in B,$ になります。

ボルタ $(\Leftarrow)$ $A \cup B = B,$ の場合、次のようになります。

$A \subseteq A \cup B = B,$ として、明らかに $A \subseteq B.$ があります。

(d) 演習 😂😂😂

$\square$

素集合: 2 つの集合 $A$ と $B$ に共通の要素がない場合、つまり $A \cap B = \emptyset.$ の場合、それらの集合は素であると言います。

定理 2: $X, A$ と $B$ を集合とする。したがって、次のようになります。

  • (a) $\emptyset \subseteq A,\quad A \cup \emptyset = A$ e $A \cap \emptyset = \emptyset$
  • (b)
    • $X \subseteq A \cup B \quad \Leftrightarrow \quad X \subseteq A \vee X \subseteq B$ e
    • $X \subseteq A \cap B \quad \Leftrightarrow \quad X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

(a) この項目では $\emptyset \subseteq A.$ と表示します。

定義により、$x \in \emptyset \Rightarrow x \in A.$ を示す必要があります。

命題 $p : x \in \emptyset$ は常に偽であるため、次のことを示す命題 $q,$ に対して $p \Rightarrow q$ は真になります。 包含。

(b) この項目では、演習 😂😂😂 として、もう一方の等価性 $X ⊆ A ∩ B ⇐⇒ X ⊆ A ∧ X ⊆ B,$ を示します。

（井田）

  • 仮説: $X \subseteq A \cap B$
  • 論文 $X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

$x ∈ X,$ を、仮説 $X \subseteq A \cap B,$ から $x \in A \cap B$ があり、交差の定義から $x \in A \wedge x \in B.$ があるとします。

したがって$X \subseteq A \wedge X \subseteq B.$

(戻る)

  • 仮説: $X \subseteq A \wedge X \subseteq B$
  • 論文 $X \subseteq A \cap B.$

仮説により $x ∈ X,$ を $x \in A \wedge x \in B$ とすると、交差の定義により $x \in A \cap B.$ が得られます。

したがって$X \subseteq A \cap B$

$\square$

以上がセットの紹介のまとめです。次の投稿をお待ちください。