公式資料: 完全な証拠 · OBMEP ソリューション · 年間コレクション。

以下の決議は、公式ノートブックの番号に従っています。テストを開いて、ステートメント、代替案、図に従ってください。ここでの説明には著作権があります。答えを確認する前に、各質問に答えてください。

テンプレート

質問 答え
1–5 E · B · A · E · C
6–10 E · A · B · E · C
11–15 C · B · B · E · D
16–20 B · D · E · C · C

質問 1 — ピン

左下シートと右下シートはそれぞれのピンを保持する必要があります。他のシートはピンを保持しません。また、左上のシートと右上のシートに少なくとも 1 つのピンを保持する必要があります。つまり、10 個のうち少なくとも 4 個は残ります。これら 2 つの上部シートで、中央で重なっているシートを固定するピンを選択します。この選択は、4 つのピンを使用して 6 枚のシートをサポートします。 $10-4=6$ — E を削除できます。

質問 2 — 重なっているカード

そして彼は誰よりも優れています。 A はそのすぐ下、B の上に配置されます。B は、最初の 2 枚のカード C と D をカバーします。部分的な順序は $(C,D)$、B、A、E で、最初の 2 枚を交換する可能性があります。 3 つ目はB — 代替案 B です。

質問 3 — ピザ

$k$ 枚のピザは 8 スライスにカットされ、他の $5-k$ ピザは 6 枚になります。合計は $30+2k$ となり、30、32、34、36、38、40 のいずれかになります。 36 のみが 9 の倍数であり、フレンド 1 人あたり 4 つのスライス - A になります。

質問 4 — ボード

各ボードは $7\cdot17=119$ 個のピース​​を使用します。 $2023=7\cdot17^2$ と同様に、119 で割ると17 枚のボード — E になります。各ピースの面積は$1\text{ cm}^2$なので、カウントはカバーされる面積と一致します。

質問 5 — 隔日読書

21 ページは、金曜日、日曜日、火曜日の 3 つのセッションに対応します。 1セッションあたり7ページあります。 105 ページのブックには 15 セッションが必要です。最初と最後の間には 14 日、つまり 28 日の間隔があります。金曜日から 4 週間後、 再び金曜日 - C になります。

質問 6 — 青い立方体

少なくとも 1 つの白い面を持つ立方体を数えます。9 つあり、完全に青い面はありません。スタック内の 14 立方体のうち、他の 5 つは、デザインに矛盾することなく、青い面を隠すことができます。 答え: 5 — E.

質問 7 — 正方形の面積の比

大きい正方形の対角線AC、小さい正方形の対角線、および辺の三角形の底辺への垂線を描きます。図に示されている等しいセグメントを使用すると、大きな正方形の半分が XBY に合同な 9 つの三角形に分割されます。正方形全体には 18 個の三角形ユニットがあり、最小のものは 4 つあります。したがって、

$$\frac{A_{\text{menor}}}{A_{\text{maior}}}=\frac4{18}=\boxed{\frac29}.$$

代替案 A. 異なる方向に描かれた辺だけを比較しても、面積の比率はわかりません。

質問 8 — 観覧車

正反対の点の高さの平均は中心の高さになります。したがって、ホイールが回転しても、高さの合計は一定のままです。最初の合計は $3+5=8$ m です。メアリーが7 m であるとき、 ポールは**$8-7=1$ m — B** です。

質問 9 — メッシュ上の領域

各正方形の一辺が $l$ である場合、黄色の領域を図面の頂点で示される 2 つの三角形に分割します。メッシュ上で測定される底辺と高さは、面積 $(2l)(3l)/2=3l^2$ と $(2l)(2l)/2=2l^2$ を与えます。次に$5l^2=30$、 そこから**$l^2=6\text{ cm}^2$ - E**となります。

質問 10 — 積と逆数

未知数の逆行列の 3 つの積は、2、3、および 6 です。逆数の 2 乗を求めるには、それを含む 2 つの積を乗算し、3 番目の積で割ります。 3 つの正方形は、ある順序で次のようになります。

$$\frac{2\cdot3}{6}=1,\qquad\frac{2\cdot6}{3}=4,\qquad\frac{3\cdot6}{2}=9.$$

要求された合計は $1+4+9=14$ — C 相当です。この手順では、未知の兆候を見つける必要はありません。

問題 11 — 3 桁の数の割り算

$\overline{ABC}=10\overline{AB}+C$と書き込みます。 $\overline{AB}$で割った余りが$C/\overline{AB}$となります。 $0\le C\le9<\overline{AB}$ と同様、$C=0$ の場合は整数のみとなります。 A には、ゼロ以外の選択肢が 9 つあります。 B の場合、ゼロと A を除く 8 つ。合計: $9\cdot8=72$ — C。

質問 12 — 和と積

として $2048=2^{11}$、4 つの正の整数は 2 のべき乗です。和 67 は奇数なので、1 に等しい項が 1 つまたは 3 つあります。1 が 3 つあると 64 が残りますが、積は 64 になります。1 が 1 つだけあると、他の 3 つのべき乗の合計は 66 になります。これらは 32、32、2 でなければなりません。なぜなら、すべてが最大でも 16 であれば、合計は 66 に達しないからです。 64 期では 2 つの偶数のプラスが残り、合計が 2 になりますが、これは不可能です。製品は $32\cdot32\cdot2\cdot1=2048$。 3 の最小和は、 $32+2+1=35$ —B.

質問 13 — 年齢と嘘

8 歳は虚偽の陳述をする必要があります。 3 つの文のうち、「8 ではありません」だけが彼女にとって偽です。他の人たちは真実を語ります。9 を持っていることを否定する人は 7 を持っており、7 を持っていることを否定する人は誰でも 9 を持っています。最年長と最年少はB に示されているものです。

質問 14 — メッシュ内のパス

強調表示されている 2 つの極端な点には、点ごとに 1 つのパスがあります。各内部ポイントには、そこに行く方法と B に行く方法が 6 つあります。上と右へのパスはこれらのポイントのうち 2 つを通過できないため、二重にカウントされることはありません。合計は**$1+1+6^2+6^2=74$ — E**となります。

質問 15 — ボックスを形成するカード

で示す $h$ 箱の高さと、 $b,c$ ベースの側面。我々は持っています $hb=28$, $hc=24$ そして $hbc=168$。このような $c=168/28=6$, $h=24/6=4$ そして $b=28/4=7$。カット前のカードの寸法 $(b+2h)\times(c+2h)$、つまり、 $15\times14$。あなたの地域は $210\text{ cm}^2$ —D.

質問 16 — ひし形

それぞれのひし形は、隣接する 2 つの小さな三角形の結合です。可能な方向は 3 つあります。 1 つの方向で、$4+3+2+1=10$ の範囲でカウントします。大きな三角形を回転すると、カウントを変更せずに、他の 2 つの三角形のそれぞれにこの向きが適用されます。次に**$3\cdot10=30$ — B**です。

質問 17 — さまざまな年齢

最大の年齢が最大でも 15 である場合、10 個の異なる整数年齢の最大合計は $6+7+\cdots+15=105$ となり、不十分になります。したがって、マリアナは少なくとも16を持っています。この制限は $6,7,8,9,10,12,13,14,15,16$ で可能であり、その合計は 110 になります。したがって、 最小値は16 年 — D となります。

質問 18 — 名前と色

青い服を着た女の子はアリスでもクラウディアでもダニエラでもありません。ということでベアトリスです。 2 番目の情報によると、クラウディアは黒や赤の服を着ておらず、青も着ていません。彼女は白を着ています。円陣の中で、ベアトリスはクラウディアとダニエラの間に立っています。黒い服を着た女の子は赤い服を着た女の子とクラウディアの間にいる必要があるので、ベアトリスの隣人であるダニエラであってはなりません。結論は黒のアリス、青のベアトリス、白のクラウディア、赤のダニエラ、 E です。

質問 19 — 合計の回避 86

10 から 76 まで、33 のペアを形成します $(10,76),(11,75),\ldots,(42,44)$。各ペアから最大 1 つを選択できます。 43は同じ番号が重複しないので入力できます。 77 から 99 までのすべての 23 番号も可能です。制限は $33+1+23=57$ で、43 から 99 までのすべての数値を選択すると到達します。 応答: 57 — C.

質問 20 — 星の面積

図面を分解するときは、ひし形 ABCD を使用します。対角線 BD は、同じ面積の 2 つの三角形に分割します。さらに、三角形 PBC と QCD は正五角形の辺に沿って合同です。青と白の部分にはそれぞれ、最初のタイプの三角形が 3 つと、2 番目のタイプの三角形が 1 つあります。面積は等しいです。青い部分は**$1/2$ — C**です。

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