円弧の半分割と接線の公式

正方形を分離する

ID $\cos2u=1-2\sin^2u$ と $\cos2u=2\cos^2u-1$ から始めます。 $u=x/2$ の作成と分離:

$$\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.$$

その結果：

$$\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

符号は自由に選択できるものではなく、$x/2$ の画像象限によって決定されます。 $0

$x=300°$の場合は$x/2=150°$になります。それから：

$$\sin150°=\sqrt{\frac{1-1/2}{2}}=\frac12,$$

$$\cos150°=-\sqrt{\frac{1+1/2}{2}}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

コサインの負の符号は第 2 象限から生じます。

$\sin x=2\sin(x/2)\cos(x/2)$ と $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$ を使用する場合:

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\frac x2,$$

$\cos(x/2)\ne0$まで。 $1+\cos x\ne0$と同等の条件です。

別の方法は次のとおりです。

$$\tan\frac x2=\frac{1-\cos x}{\sin x},$$

ただし、$\sin x\ne0$ も必要です。 $x=0$ の場合、最初の形式は有効です 0 が、2 番目の形式は存在しません。式は、まったく同じドメインを持たずに、共通のドメインで一致します。

二乗:

$$\tan^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}.$$

$t=\tan(x/2)$ が存在する場合、以前の ID は次のようになります。

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

接線の場合、$\tan x=2t/(1-t^2)$ には $t^2\ne1$ も必要です。この置換により、三角方程式を代数方程式に変換できます。 $t$が存在しない箇所は別途確認が必要です。

地球上の距離 角度の半正弦は $\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2}$ で、地図アプリケーションで使用される半円弧の公式です。
コンピュータ設計。 CAD プログラムは $t = \operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$ で円弧を記述し、多項式のサインとコサインの分数を作成します。
角度のカット。 2 枚の基板を $90^\circ$ の角で接合するには、それぞれの角度の半分の $45^\circ$ でカットします。

マイター: $90^\circ$ コーナーを形成するには、各ボードを半分の角度 $45^\circ$ でカットします。

1. $\cos22{,}5°$を計算します。

解像度確認1

角度は第 1 象限にあります: $\cos22{,}5°=\sqrt{(1+\sqrt2/2)/2}=\sqrt{2+\sqrt2}/2$。

2. $30°$の半分の計算式を使用して$\tan15°$を計算します。

解像度確認2

$\tan15°=(1/2)/(1+\sqrt3/2)=1/(2+\sqrt3)=2-\sqrt3$.

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