1801 年 1 月 1 日、天文学者ジュゼッペ ピアッツィはパレルモで、動く小さな点を発見しました。 星々の中では、 それは今日準惑星に分類されているケレスでした。ピアッツィは41日間彼に同行しました。 太陽のまぶしさに消えるまで。観測が非常に少ないため、誰も軌道を計算する方法を知りませんでした。 永遠に失われたようだった。

ガウスは 24 歳で、新しい方法を作成し、数週間で軌道を計算しました。 31の夜に 1801 12 月、天文学者フランツ・フォン・ザッハがガウスが示した場所に望遠鏡を向けると、そこにありました。 セレス。

1801 年をアニメーション化します。ケレスが観察され、太陽の後ろに消え、年の最後の日に再び発見されます。 「ガウス予測」をクリックすると、計算された軌道が表示されます。
*Theoria motus corporum coelestium* (1809)。ガウスがその方法を説明しました。
Theoria motus corporum coelestium (1809)。ガウスがその方法を説明しました。パブリックドメイン

その秘密の一つは測定誤差への対応にありました。すべての観測には小さな誤差が含まれます。測ったら 同じことを何度か行って異なる値が見つかった場合、どの数値を選択すればよいでしょうか?

ガウスの答えは、 誤差の二乗和が最小となる数字$c$です。測定あり $x_1, x_2, \ldots, x_n$、合計は

$$S(c) = (x_1 - c)^2 + (x_2 - c)^2 + \cdots + (x_n - c)^2.$$

四角形を開くと、$c$ に 2 次関数が表示されます。

$$S(c) = n\,c^2 - 2\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n\right) c + \left(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\right).$$

グラフは口を上に向けた放物線であり、最も低い点が頂点になります。 $c = -\frac{b}{2a}$:

$$c = \frac{2\left(x_1 + \cdots + x_n\right)}{2n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.$$

それは平均的です！最小二乗法は、平均値が最良の推定値である理由を説明します。そして彼はそうするだろう ビヨンド: 同時に多くの点の最も近くを通過する直線 (または軌道) を見つけるために使用されます。

赤い四角ができるだけ小さくなるように直線を調整するか、「ガウス直線」をクリックします。点をドラッグしてデータを変更します。

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