Euler's Eyes
2026-10-15
ネイピアの骨：棒でかけ算をする
対数は天文学の大きな計算のためのものでした。ふだんの計算のために、ネイピアは別のものを発明し、亡くなった年の 1617 年に、小さな本『ラブドロギア』（Rabdologia）で発表しました。ギリシア語の rhabdos（棒）と lógos（計算）から来た名前で、棒による計算という意味です。
棒
一本一本の棒は「骨」とも呼ばれました。いちばん高価なものは象牙でできていたからです。上端に 0 から 9 までの数字が一つあり、その下に、斜線で区切られた九つの小さなます目に、その 1 倍から 9 倍までが書かれています。十の位は斜線の上、一の位は下です。たとえば 7 の棒には $0/7$、$1/4$、$2/1$、$2/8$、$3/5$、$4/2$、$4/9$、$5/6$、$6/3$ とあります。
かけ算のしかた
$425\times6$ を計算するには、4、2、5 の棒を並べて 6 行目を見ます。
$$4\times6=24\ \to\ 2/4,\qquad2\times6=12\ \to\ 1/2,\qquad5\times6=30\ \to\ 3/0.$$次に、右から左へ斜めに足します。最初の斜めの列には 0 しかありません。二つ目には 3 と 2 があり、5 になります。三つ目には 1 と 4 があり、5。最後の列には 2 だけです。結果は
$$425\times6=2550.$$斜めの列は、ふつうのかけ算の「繰り上がり」を自動的にしてくれます。それぞれの積の十の位が、次の積の一の位と同じ斜めの列に入るからです。斜めの列の和が 9 を超えたら、足し算と同じように、超えた分を次の列に送ります。
何桁もある乗数
$425\times36$ のように何桁もある数をかけるには、6 行目と 3 行目を一つずつ読み、位をそろえて足します。
$$425\times36=425\times30+425\times6=12\,750+2\,550=15\,300.$$大きな利点は、だれも九九を暗記する必要がないことでした。読んで足すだけでよいのです。骨は数年のうちにヨーロッパ中に広まり、19 世紀まで使われました。『ラブドロギア』でネイピアはプロンプチュアリも紹介しています。書いて足すことなしに、もっと大きなかけ算ができる、より手のこんだ板の箱です。
練習問題：骨を使って 736 × 8 を計算せよ。
7、3、6 の棒の 8 行目は $5/6$、$2/4$、$4/8$ です。右から左へ斜めに足すと、8、$4+4=8$、$2+6=8$、5。よって $736\times8=5888$ です。
練習問題：87 × 9 の計算で、斜めの列が 9 を超えるとどうなるか。
8 と 7 の棒の 9 行目は $7/2$ と $6/3$ です。斜めの列は 3、$6+2=8$、7 で、結果は $783$。$98\times7$ では棒が $6/3$ と $5/6$ を示し、斜めの列は 6、$5+3=8$、6 で $686$ になります。もしある列の和がたとえば 13 になったら、3 を書いて次の列に 1 を足します。足し算の繰り上がりとまったく同じです。
出典： John Napier、Rabdologiae, seu numerationis per virgulas libri duo（エディンバラ、1617）· William Frank Richardson（訳）、Rabdology（MIT Press、1990）· Julian Havil、John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）。