弦と接線の間の角度も円弧の半分を測定します。したがって、航海士が岩から逃げるために使用する有能な弓です。

発見者

セグメント角度の測定値は、 命題III.32 の 要素 の ユークリッド、の建設 弓が使える — セグメントを特定の角度で見たときの点の位置 — は、 III.33。最もよく知られている実用的な用途には 2 つの名前があります: オランダ語 ヴィレブロルド・スネリウス (1617) とフランス人 ローラン・ポテノ (1692) は、2 つの可能な円弧を横切る 3 つの既知の点が見られる角度から自分の位置を発見するという問題を解決しました。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ヴィレブロルド・スネリウス。
ヴィレブロルド・スネリウス。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

スネリウス・ポテノット問題は、三角測量地図作成の基礎となりました。スネリウスはこれを使用してオランダの都市間の距離を測定し、地球の大きさを推定しました。 GPS が到着するまで、測量士や船員は 3 世紀以上にわたってそれを利用していました。

沿岸航行の古い彫刻: 有名な塔や灯台は、船からの角度を測定するための基準として機能します。
沿岸航行の古い彫刻: 有名な塔や灯台は、船からの角度を測定するための基準として機能します。オイラーの目ブログのコレクション。

航海士たちは、2 つの灯台を通過し、岩の周りを回る円弧を海図上に描く危険角と呼ばれる手法を編み出しました。六分儀でヘッドライト間の角度を測定することで、車長は自分が円弧の内側にいるのか外側にいるのか、つまり危険に近いのか遠いのかを知ることができます。

日常生活での応用

  • 沿岸航行。 危険角度は、GPS の代替として航海コースで今でも教えられています。
  • 地形。 ポテノット問題は、3 つの既知のランドマークからフィールド内の点を特定します。
  • ステージと観客。 可能なアークには、ステージを同じ角度から見たすべての場所が表示されます。
  • スポーツ。 ゴール上のシュートにおいて、有能な弧はゴールと同じ開口部を持つポイントを示します。

出典: 要素、命題 III.32 · 要素、命題 III.33 · Snellius (MacTutor)。

理論と作図

定義セグメント角度

線分角 (または半内接) は、円上の頂点との角度であり、一方は割線、 もう一方はそれに接線します。名前は、それが決定する円セグメントに由来しています。

定理セグメント角度測定

セグメント角度は、対応する中心角の半分、つまり対応する円弧の半分を測定します: $\alpha = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}$。

デモンストレーション（鋭角） 二等辺三角形 $OAB$、$\hat{A} = 90^{\circ} - \dfrac{\beta}{2}$ (1) で。 $t$は接線なので、$\alpha + \hat{A} = 90^{\circ}$、つまり$\hat{A} = 90^{\circ} - \alpha$(2)となります。 (1) と (2) から、$\alpha = \dfrac{\beta}{2}$。角度が正しい場合、$\overline{AB}$ が直径となり、円弧の長さは $180^{\circ}$ になります。鈍角の場合は、隣接する補足が使用されます。

$B$ をドラッグ: 接線と弦の間の角度は常に黄金の円弧の半分です。

定義アーク対応

線分 $\overline{AB}$ と角度 $\alpha$ が与えられると、$\alpha$ を測定し、$A$ と $B$ を通る辺を持つすべての内接 (および線分) 角の頂点は、円弧 $\overset{\frown}{APB}$ 上にあります。つまり、$\overline{AB}$ 上の $\alpha$ の可能な円弧です。 $\overline{AB}$ を中心とした中心角が $2\alpha$ である円の弧です。