現代数学における最も重要な関係の 1 つは等価関係です。このためには、重要なプロパティを表示する必要があります。

関係プロパティ

このセクションは、セット $A$ に対するリレーション $\mathcal{R}$ のプロパティから始まります。出発点として、定義は次のとおりです。

定義 $\mathcal{R}$ を集合 $A.$ 上の関係とする そして次のように言います。

  • $\mathcal{R}$ は、次の条件の場合に再帰的です。
    • $(\forall x \in A)(x\mathcal{R} x)$ は true
    • すべて $x \in A, (x, x) \in R.$ の場合 コレクション
  • $\mathcal{R}$ は次の条件の場合に対称です。
    • $(\forall x,y \in A)(x\mathcal{R} y \longrightarrow y\mathcal{R} x)$は真です。
    • すべて $x, y \in A,$ の場合 $(x, y) \in \mathcal{R} ,$ の場合 $(y, x) \in \mathcal{R} .$ コレクション
  • $\mathcal{R}$ は次の条件の場合推移的です。
    • $(\forall x, y, z \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} z \longrightarrow x\mathcal{R} z)$ は true
    • すべて $x, y, z \in A,$ の場合 $(x, y) \in \mathcal{R} $ と $(y, z) \in \mathcal{R},$ の場合 $(x, z) \in \mathcal{R}.$ コレクション
  • $\mathcal{R}$ は、次の条件の場合、非対称です。
    • $(\forall x, y \in A)(x\mathcal{R} y \wedge y\mathcal{R} x \longrightarrow x = y)$ は true
    • すべて $x, y \in A,$ の場合 $(x, y) \in \mathcal{R}$ と $(y, x) ∈ \mathcal{R},$ の場合 $x = y.$ コレクション

例

以下に、関係プロパティの例をいくつか示します。

例 1 $A$ を任意のセットとします。 $A$に関する関係:

$$\Delta = \\{(x,x); x\in A\\}$$

この関係が再帰的、対称的、推移的であると仮定します。この場合、それを同一性または対角関係と呼びます。

コレクション

例 2 $A$ を任意のセットとします。 $A$ に対する $A\times A$ の関係。

この関係が再帰的、対称的、推移的であると仮定します。この場合、反対称ではありません。

コレクション

例 3 $A=\\{a,b,c\\}$ とします。関係:

  • $\mathcal{R}_1 = \\{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)\\}$ この関係が再帰的、反対称的、推移的であると仮定します。この場合、対称ではありません。
  • $\mathcal{R}_2 = \\{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)\\}$ この関係が対称かつ推移的であると仮定します。この場合、それは再帰的でも反対称でもありません。
  • $\mathcal{R}_3 = \\{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a), (b,c)\\}$ この場合、対称でも推移的でも再帰的でも反対称でもありません。
コレクション

例 4 $A=\mathbb{N}$ とします。関係:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x \text{ é um divisor de } y\\}$$

この場合、それは再帰的、反対称的、推移的な関係です。ただし、左右対称ではありません。

コレクション

例 5 $A=\mathbb{Z}$ とします。関係:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$

この場合、それは再帰的、対称的、推移的な関係です。ただし、反対称ではありません。

コレクション

例 6 $A$ を集合の族とします。 $X, Y \in A,$ の場合、「$X$ は $Y$ に含まれる」という関係は再帰的、反対称的、推移的な関係です。ただし、左右対称ではありません。

コレクション

例 7 $A$ を命題の集合とします。 $p, q \in A,$ の場合、「If $p$ then $q$」という関係は再帰的かつ推移的な関係です。対称でも反対称でもありません。

コレクション

これは関係の性質をまとめたものです。次の投稿をお待ちください。