Euler's Eyes
2026-10-11
直角、鋭角、鈍角 - 測定
完全な回転には 100 ではなく 360 度があるのはなぜですか?答えはメソポタミアの天文学にあります。
発見者
直線、鋭角、 鈍角という名前は、原論 (定義 I.10 から I.12) で定義されているユークリッドに由来しています。直線は、補足的に隣接するものと等しい角度です。鋭角で、直線よりも小さい。鈍角で最大のもの。この度という単位の測定には、後述の「なぜ 360 度?」という好奇心で説明されているように、バビロニア天文学という別の起源があります。 分と秒という言葉はクラウディウス プトレマイオス（西暦2世紀）のラテン語訳から来ています。
歴史
ユークリッドは角度を度で測定したことはありません。彼にとって、直角は自然な単位でした。角度は「2 つの直角に等しい」または「1 直角未満」であり、彼の 4 番目の公準はすべての直角が等しいと述べています。数値測定は、空の星や惑星の位置を特定する必要がある天文学者によってもたらされました。
プトレマイオスはアルマゲストで各次数を基底分数 60 に細分しました。ラテン語訳では、partes minutae primae と partes minutae secundae、つまり「最初の小さな部分」と「2 番目の小さな部分」になり、分と秒はここから来ています。
フランス革命ではメートルとともに直角を100 等分する勾配が試みられました。このユニットは関数電卓の「GRAD」モードでは存続しますが、学位の有効期限が切れています。
日常生活での応用
- 煉瓦職人の広場。 壁と床が直角になるようにします。
- 地理座標 緯度と経度は、度、分、秒で測定される角度です。
- 策略。 「180 を与える」とは意味を逆転させます。スケートボードの「360」は完全なターンです。
- コンパス 飛行機または船の進行方向は北からの度で表されます。90°は東、180°は南です。
出典: 要素、仮定 4 · プトレマイオス (MacTutor) · 要素、定義 I.10。
理論と作図
定義隣接する補足。直線、鋭角、鈍角
角度$A\hat{O}B$が与えられると、$\overrightarrow{OA}$の反対側の光線$\overrightarrow{OC}$と光線$\overrightarrow{OB}$は、$A\hat{O}B$ の隣接補足（または隣接補足） と呼ばれる角度$B\hat{O}C$を決定します。
- 直角 とは、隣接する補助角と合同な任意の角です。
- 鋭角とは直角より小さい角度のことです。
- 鈍角とは、直角より大きい角度のことです。
分度器の図に戻り、[補足隣接] ボタンを使用します。$A\hat{O}B$ と $B\hat{O}C$ が等しい場合、それぞれの寸法は $90^{\circ}$ になります。これは直角です。
定義角度（振幅）の測定
$m(A\hat{O}B)$ で示される角度 $A\hat{O}B$ の尺度は、次のような正の実数です。
- 合同な角度は等しい尺度を持ち、その逆も同様です。
- ある角度が別の角度より大きい場合、その角度の方が大きくなります。
- メジャーの合計は角度の合計 $\widehat{rt} = \widehat{ab} + \widehat{cd} \Rightarrow m(\widehat{rt}) = m(\widehat{ab}) + m(\widehat{cd})$ に対応します。
角度の測定は振幅とも呼ばれます。
単位: 度、分、秒、等級
| ユニット | 定義 | 関係 |
|---|---|---|
| 度 ($1^{\circ}$) | 直角秒の約数 90 | 直角$= 90^{\circ}$ |
| 分($1^{\prime}$) | 2 次の約数 60 | $1^{\circ} = 60^{\prime}$ |
| 秒 ($1^{\prime\prime}$) | 分秒の約数60 | $1^{\prime} = 60^{\prime\prime}$ |
| 度 ($1\,\text{gr}$) | 直角秒の約数 100 | 直角$= 100\,\text{gr}$ |
鋭角は $90^{\circ}$ 未満です。 $90^{\circ}$ よりも鈍い。角度の寸法$\alpha$は$0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$を満たします。グラドのうち、摂氏 ($0{,}01\,\text{gr}$、「グラドの分」) と 10 ミリグレード ($0{,}0001\,\text{gr}$、「グラドの秒」) が際立っています。
定義補完的かつ補足的
- 2 つの角度は、メジャーの合計が $90^{\circ}$ であれば相補的です。 1 つはもう 1 つの補数であり、$x$ の補数は $90^{\circ} - x$ です。
- 2 つの角度は、そのメジャーの合計が $180^{\circ}$ であれば補足されます。 1 つはもう 1 つの補足であり、$x$ の補足は $180^{\circ} - x$ です。
この概念を拡張すると、ヌル角 (一致する辺、$0^{\circ}$) と浅い角 (反対側、$180^{\circ}$) があります。彼らと一緒に、$0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$。
定理頂点の反対側の角度
2 つの角度が頂点で対向している場合、それらは合同です。
デモ
- 仮説: $A\hat{O}B$ と $C\hat{O}D$ は反対です。 論文: $A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$。
- $x$ を $A\hat{O}B$ のメジャー、$y$ を $C\hat{O}D$ のメジャー、$z$ を $B\hat{O}C$ のメジャーとします。
- $A\hat{O}B$ と $B\hat{O}C$ は隣接しており、それらの非共通側は反対側です: $x + z = 180^{\circ}$。
- 同様に、$C\hat{O}D$、$B\hat{O}C$:$y + z = 180^{\circ}$となります。
- 次に$x + z = y + z$、つまり$x = y$と$A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$です。