インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 VIII 章を完了.

線よりも高い

質問 $\operatorname{sen} x>1/2$ は、キャブが高さ線 $1/2$ より上にあるすべての位置を尋ねます。 1 回のターンで、運転台は $30°$ と $150°$ でこの線を横切ります。その間は$90°$を通り、高さは1です。したがって、$[0°,360°)$ では次のようになります。

$$30°不平等とは、不平等がある状態のことです。通常、ソリューションは範囲または範囲の和集合です。 $(a,b)$という表記は端を除きます。 $[a,b]$ には両方が含まれます。 $[a,b)$ には最初のもののみが含まれます。

描画によるデモンストレーション

上の半円では、高さは 0 から 1 まで上昇し、その後 0 まで低下します。水平高さ線 $1/2$ は、このパスを 2 点で切断します。それらの間の円弧は線の上にあります。残りは以下にあります。これにより、交差点間の間隔を選択することが正当化されます。

条件が $\operatorname{sen} x\ge1/2$ の場合、両方のクロスオーバーが含まれます: $[30°,150°]$。 $\operatorname{sen} x<1/2$ の場合、範囲 $[0°,360°)$ には $[0°,30°)\cup(150°,360°)$ が含まれます。記号$\cup$は2つのセットをまとめることを意味します。

コサインにも使えるレシピ

まず、学習間隔を選択します。次に等値点を見つけます。サインの場合は水平線を、コサインの場合は垂直線を描きます。比較を満たす弓を選択し、端がフィットしていることを確認してください。

たとえば、$\cos x>1/2$ は、平面の垂直線 $x=1/2$ の右側にある点を要求します。座標と角度を混同しないように、「水平位置が$1/2$より大きい」と考えてください。角度範囲 $[0°,360°)$ では、答えは次のようになります。

$$[0°,60°)\cup(300°,360°).$$

実数行全体では、整数 $k$ に対して、同じ解を $-60°+360°k

タンジェント: 中断に注意してください

各間隔 $(-90°+180°k,90°+180°k)$ で、接線は無制限の負の値から無制限の正の値まで増加します。端には存在しません。このような：

$$\tan x>1\iff45°+180°k$[0°,360°)$ の場合、$(45°,90°)\cup(225°,270°)$ になります。同じ範囲の $\tan x<1$ の場合、結果は $[0°,45°)\cup(90°,225°)\cup(270°,360°)$ になります。

符号を知らずに不等式に $\cos x$ を掛けないでください。負の数を乗算すると方向が逆転します。ゼロを乗算すると等価性が失われる可能性があります。間隔を符号で区切ると、このエラーを回避できます。

計算する前に限界を確認してください

$-1\le\operatorname{sen} x\le1$ と同様、条件 $\operatorname{sen} x>2$ は決して発生しません。 $\operatorname{sen} x<2$はすべてのレアルに有効です。 $\cos x\ge1$ の場合、完全に回転する角度のみが適しています: $x=360°k$。

ディスクで遊ぶ

円弧を正のサインの青でペイントし、負のコサインの円弧をストライプでペイントします。両方のマークが付けられる部分は第 2 象限: $90°交差点、つまり共通部分を取ることになります。

日常生活での応用

  • 頂上での時間 各旋回中にキャビンが特定の高さ以上に費やす時間は正弦不等式です。
  • ソーラー パネル。 パネルは、太陽が特定の角度以上にある間のみ有効なエネルギーを生成します。つまり、時間間隔、不等式の解です。
  • セキュリティ カメラ。 カメラ軸との角度が絞りの半分より小さい場合、オブジェクトが画像に表示されます (コサイン不等式)。
カメラの視野: コサイン不等式によって、画像に何が表示されるかが決まります。

練習問題

ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。

1. $\operatorname{sen} x\le0$ を $[0°,360°)$ に解きます。

解像度 1 を参照

$\{0°\}\cup[180°,360°)$。先頭のゼロには正弦ゼロもあり、表示されるはずです。

2. $\cos x<0$ を $[0°,360°)$ に解きます。

解像度 2 を参照

$(90°,270°)$、端点のない左半円。

3. $\operatorname{sen} x\ge1/2$ を $[0°,360°)$ に解きます。

解像度 3 を参照

$[30°,150°]$。平等には目的も含まれます。

4. $\tan x\ge0$ を $[0°,180°)$ に解きます。

解像度 4 を参照

$[0°,90°)$。 $90°$ では接線は存在せず、範囲外の $180°$ までは負になります。

5. $\cos x>3/2$ を実数 $x$ に解きます。

解像度 5 を参照

解決策はありません。コサインが 1 を超えることはありません。

6. $[0°,360°)$ の $\operatorname{sen} x>0$ と $\cos x>0$ を同時に解きます。

解像度 6 を参照

最初の条件は $(0°,180°)$ を与え、2 番目の条件は $[0°,90°)\cup(270°,360°)$ を与えます。共通部分は$(0°,90°)$です。

書籍索引 · ← 前の章 · 次の章→