方程式

$$y=ax^2+bx+c$$

には五つの文字があり、それらは同じ水準にはありません。$x$ と $y$ は変わります。放物線上の点をたどります。そのあいだ、$a$、$b$、$c$ は止まっていますが、前もって好きなように選べます。選ぶたびに違う放物線ができます。このような文字をパラメータと呼びます。ギリシア語の pará（そば）と métron（尺度）から来ていて、尺度のそばにあってそれを調節するもの、という意味です。

パラメータを動かすのは、変数を動かすのと同じではありません。$x$ を動かすのは曲線の上を歩くことです。$a$ を動かすのは曲線を取り替えることで、放物線全体が開いたり閉じたりします。

一つの方程式、一つの族

これが、第 3 回で語ったヴィエトの大発明でした。問題で与えられた数にも文字を使うことです。方程式

$$ax^2+bx+c=0$$

は一つの方程式ではなく、方程式の族です。$a\ne0$ である三つ組 $(a,b,c)$ ごとに一つあります。ここでは役割ははっきりしています。$x$ が未知数で、$a$、$b$、$c$ がパラメータです。公式

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

は、未知数をパラメータで表すことで、族全体を一度に解きます。これによって、一つだけの方程式では立てられない問いが立てられます。パラメータがどんな値のとき解が二つあるか。答え $b^2-4ac>0$ は、一つの方程式についてではなく、族についての主張です。

物理の文字

物理はパラメータの王国です。等速運動

$$s=s_0+vt$$

では、時刻 $t$ と位置 $s$ は運動のあいだ変わり、初めの位置 $s_0$ と速度 $v$ は固定されています。けれども運動が変われば、これらも変わります。理想気体の法則 $pV=nRT$ では、$R$ はすべての気体に共通の普遍定数、$n$ はある試料について固定、$p$、$V$、$T$ は変わります。一行の中に三段階の「止まっている」があり、それを区別する印は何もありません。

もう一つのパラメータ

ややこしいことに、パラメータという言葉には二つめの意味があります。方程式

$$x=\cos t,\qquad y=\sin t$$

では、文字 $t$ がパラメータと呼ばれ、これらの方程式は媒介変数表示（パラメータ表示）と呼ばれます。けれどもここでは $t$ は止まっていません。$0$ から $2\pi$ まで走り、走るあいだに点 $(x,y)$ が円を描きます。まるで $t$ が時間で、点が動く物体であるかのようです。この意味では、パラメータはほかの二つを操る隠れた変数です。

練習：k がどんな値のとき解がただ一つになるか

$x^2+kx+9=0$ では、$x$ が未知数、$k$ がパラメータです。判別式がゼロのとき解はただ一つです。$k^2-4\cdot9=0$、つまり $k=6$ または $k=-6$。$k=6$ なら解は $x=-3$、$k=-6$ なら $x=3$。問いはパラメータについてのもので、未知数は最後にしか出てきません。

練習：直線の族 y = mx

$m$ の値ごとに、$y=mx$ は原点を通る直線です。族のすべての直線は $(0,0)$ を通ります。そこではどんな $m$ についても $y=m\cdot0=0$ だからです。直線が $(2,6)$ も通るには $6=2m$、つまり $m=3$ が必要です。役割の入れ替わりに注目してください。パラメータを求めるために、$x=2$ と $y=6$ を与えられたものとし、$m$ を未知数として扱いました。

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