探索から実証まで

範囲内で √2 を見つけると視覚化に役立ちます。非合理性を証明するには、このクラスで提示される数学的議論が必要です。

コントロールを調べて、何が変わったのかを自分の言葉で説明してください。

√2 を分数にできないのはなぜですか?

矛盾を求めるために、√2 = a/b (a と b は正の整数、既約分数) と仮定します。 この場合、a² = 2b² となるため、a² は偶数になります。 a が奇数の場合、その 2 乗は奇数になります。したがって、a は偶数です。 a = 2k と書きます。代入すると、4k² = 2b²、または b² = 2k² となり、b も偶数になります。

したがって、a と b は 2 で割り切れ、既約分数の仮説に反します。 したがって、√2は無理数です。小数近似は証拠として使用されませんでした。

運用: 一般化する前に調査する

手術 結果 分類
√2 + (−√2) 0 ラショナル
√2 × √2 2 ラショナル
1 + √2 1 + √2 不合理
2√2 2√2 不合理

r が有理で x が無理数の場合、r + x は無理数です。合計が有理であれば、 r を引くと x は有理数になり、矛盾します。 r ≠ 0 の場合、除算を使用した同じ推論、 rx が非合理であることを示しています。 r ≠ 0 という条件が必要です: 0 × x = 0。

対数チャレンジ

log₂8 は不合理ですか?そしてログ₂3?

根拠を確認してください

log₂8 = 3 は有理数です。 log₂3 = p/q が有理数で、p と q が正の整数である場合、2ᵖ = 3ᑫ になります。これは不可能です。左側は偶数で、右側は奇数です。したがって、log₂3 は無理数です。

対数.