出典: FUVEST – 第 1 フェーズ、バージョン V のテスト および公式テンプレート（24/11/2023で修正）、 FUVEST コレクション 2024 で入手可能です。

FUVEST 2024 (一般知識テスト、19/11/2023) の第 1 フェーズには、全員から 90 件の問題がありました。 規律。この投稿には12 数学の問題のみが含まれています。ここで使用されている番号付けは、 証明 V;バージョン K、Q、X、Z では、同じ質問が他の番号でも表示されます。

テンプレート

質問 主題 テンプレート
13 マトリックス: 製品とソーシャル ネットワーク B
31 円柱と円セグメントの体積 B
33 パーセンテージ: コスト変動 A
34 統計: 最頻値、中央値、平均値、範囲 A
35 カウント：デジタル時計反映 B
48 石畳の梱包 D または E (両方可)
49 平行四辺形と三角法 C
59 指数関数および対数関数（逆関数） D
60 線形システムと折れ線グラフ E
63 ピタゴラスの木: 等比数列と対数 C
84 グラフの見方: 殺人率 E
85 三角形と長方形の数字 D

質問 13: ソーシャル ネットワークにおける行列と接続

声明

マトリックスを使用して、ソーシャル ネットワークに関する情報を取得できます。これがどのように起こるかを理解するには 例として、4 人で構成される小規模なソーシャル ネットワークを考えてみましょう。 $P_1, P_2, P_3, P_4$。このソーシャル ネットワークに関連付けられた行列は、行列 $4 \times 4$ です。

$$ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

マトリックスの位置 $a_{32}$ (行 3、列 2) の値 1 (1) は、人 $P_3$ が次の手順に従うことを意味します。 人 $P_2$、位置 $a_{24}$ (行 2、列 4) の値 0 (ゼロ) は、人を意味します。 $P_2$ は人 $P_4$ をフォローしていません。値 0 (ゼロ) は位置 $a_{ii}$ に割り当てられます。価値の意味 製品行列 $M \times M = M^2$ の位置 $b_{mn}$ から、人 $P_m$ から 人 $P_n$ は、そのうちの 2 人を除いて、ちょうど 1 人を通過します。これを次数接続 2 と呼びます。

このようにして、行列 $M^2$ の位置の値は、ソーシャル ネットワークの範囲を反映できます。 可能性と弱点、特定のメンバーの影響など。

提示されたソーシャル ネットワークに関して、次のように述べているのは正しいです。

  • A) 次数 2 のつながりを持たない異なる人々 ($P_i \neq P_j$) の 5 組が存在します。
  • B) 1 次接続 2 のみを持つ異なる人々 ($P_i \neq P_j$) の 6 組が存在します。
  • C) 異なる 2 度の 2 のつながりを持つ、3 組の異なる人々 ($P_i \neq P_j$) が存在します。
  • D) ソーシャル ネットワーク内の他の全員と 2 度のつながりを持つ 3 人がいます。
  • E) $P_i$ と $P_3$ が相互フォローしている 1 人 $P_i$ ($i \neq 3$) だけが存在します。

注意して採用してください: 積行列 $M \times M = M^2$ の位置 $b_{mn}$ は次の式で与えられます。 $b_{mn} = a_{m1}a_{1n} + a_{m2}a_{2n} + a_{m3}a_{3n} + a_{m4}a_{4n}$

解決

1。 $M^2$ を計算します。 各項 $a_{mk}a_{kn}$ は、$P_m$ が $P_k$ に続き、 $P_k$ が続く場合にのみ、1 の価値があります。 $P_n$、つまりパス$P_m \to P_k \to P_n$をカウントします。行ごとに実行します:

$$ M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

例: $b_{13} = a_{12}a_{23} + a_{14}a_{43} = 1 + 1 = 2$: $P_1$ から $P_3$ を経由して到達します。 $P_2$または$P_4$。

2。対角線の外側の位置だけに注目してください（別の人、$m \neq n$）。これらは 12 順序ペアです。

$b_{mn}$の値 ペア $(P_m, P_n)$ 額
0 $(1,2), (1,4), (2,3), (4,3)$ 4
1 $(2,1), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1)$ 6
2 $(1,3), (4,2)$ 2

3。代替案をテストします。

  • A) これらは、5 ではなく、次数 2 の 4 個の接続されていないペアです。間違い。
  • B) それらは、次数 2 の単一接続を持つ正確に6 ペアです。 本当です。
  • C) これらは、3 ではなく、2 つの接続を持つ 2 ペアです。間違い。
  • D) $P_3$ のみがすべての $n \neq 3$ に対して $b_{3n} \geq 1$ を持ちます (対角線上の 3 の線は $1, 1, 1$)。間違い。
  • E) $P_2$ と $P_3$ は相互フォローしており ($a_{23} = a_{32} = 1$)、また $P_4$ と $P_3$ ($a_{43} = a_{34} = 1$) もフォローしています。彼らは 1 ではなく 2 人です。間違い。

答え: 代替案 B。

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質問 31: 円筒形の給水車から取られた水

声明

給水車の貯水池は、水平軸を備えた真っ直ぐな円柱の形をしています。 内寸は長さ6メートル、直径2メートル。学校がサービスを契約したのは、 水タンクを満たす給水車。給油後、運転手は気が付いた。 図に示すように、トラックのタンクは 3/4 の高さまで満杯でした。

学校の給水タンクに供給するために使用された水の量はどれくらいですか (立方メートル) 給油する前にトラックのタンクが満タンだったということですか？

  • A) $\left(2\pi - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
  • B) $\left(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$
  • C) $\left(2\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$
  • D) $\left(4\pi + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
  • E) $\left(4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$

解決

使用する水はシリンダーの上部が空になった部分です。シリンダーが寝ているので体積は **(空きセクションの面積)×(長さ)**となります。

1。セクション 円の半径は $r = 1$ m です。全高$3/4$（全高2m）はレベルを意味します 底から$1{,}5$ m、つまり中心から$0{,}5$ m 上にある水の量。空の部分は円形のセグメントです その弦は中心からの距離 $d = 0{,}5$ です。

2。中心角 この文字列を見る中心角を$\theta$とします。によって形成される三角形の中で、 中央、文字列の中間、文字列の一方の端:

$$\cos\frac{\theta}{2} = \frac{d}{r} = \frac{0{,}5}{1} \quad\Rightarrow\quad \frac{\theta}{2} = 60^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$$

3。セグメントの面積 = 扇形の面積 − 三角形の面積：

$$A = \frac{\theta}{2}r^2 - \frac{1}{2}r^2\sin\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$$

4。使用量。

$$V = 6 \cdot \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 3{,}68 \text{ m}^3$$

答え: 代替 B ($2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}$ m³)。

キャッチに注意してください: 代替 E、$4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}$ は、水の体積です。 トラック（$6\pi - V$） に宿泊しました。問題はどれくらい使ったかです。

確認するには、円の領域.

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質問 33: 薬の値段が上がりました

声明

製薬会社は、次の 4 つの成分で構成される特定の薬を製造します。 この薬の各成分のグラム当たりのコストも表 I に示します。 この表では。

表 1

薬の成分 量（mg） コスト (R$/g)
コンポーネントA 200 700
コンポーネントB 70 500
コンポーネントC 130 300
コンポーネントD 100 120

医薬品の次のバッチを生産するには、会社はそれを製造するために別の費用がかかります。 表 II に示すように、一部のコンポーネントのコストが変更されました。

表 2

薬の成分 コストの変動 (%)
コンポーネントA + 7
コンポーネントB − 5
コンポーネントC 0
コンポーネントD + 10

薬の値段はレアルでいくら上がりますか?

  • A) 9,25
  • B) 12,00
  • C) 12,75
  • D) 36,00
  • E) 86,00

注意して採用: 他の生産コストは変わらないと考えてください。

解決

1。薬の単位における各成分のコスト。 量は mg 単位で、コストは単位で表示されます。 グラムあたり R$; $1 \text{ mg} = 0{,}001$ ｇ．

成分 質量(g) コスト (R$)
A 0,200 $0{,}2 \cdot 700 = 140$
B 0,070 $0{,}07 \cdot 500 = 35$
C 0,130 $0{,}13 \cdot 300 = 39$
D 0,100 $0{,}1 \cdot 120 = 12$

2。各コストの変動です。

  • A：$+7\%$/140$= +9{,}80$
  • B：$-5\%$/35$= -1{,}75$
  • C: $0$
  • D: 12 $= +1{,}20$ から $+10\%$

3。追加します。

$$9{,}80 - 1{,}75 + 0 + 1{,}20 = 9{,}25$$

答え: 代替 A (R$ 9,25)。

キャッチに注意してください: 代替 B (12,00) はパーセンテージの加算から得られます ($7 - 5 + 0 + 10 = 12$) まるで本物であるかのように。各パーセンテージは異なる値に適用されます。

確認するには、パーセンテージの基本.

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質問 34: モード = 中央値 = 平均値 = 範囲のリスト

声明

モード、中央値、平均、範囲の概念は、一連の研究に使用される測定値を定義します。 数値情報。たとえば、5 個の数値 (2、2、4、8、14) のリストでは、モードは 2 に等しいことがわかります。 中央値は 4、平均値は 6、範囲は 12 です。

条件を満たす 5 個の正の整数のリストの数を表す選択肢を選択します。 条件: モード = 中央値 = 平均 = 範囲 = 23。

  • A) 8
  • B) 9
  • C) 11
  • D) 22
  • E) 44

解決

リストを昇順で書き込みます: $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5$。

1。条件を翻訳します。

  • 中央値 23: $x_3 = 23$。
  • 平均 23: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5 \cdot 23 = 115$。
  • 振幅 23: $x_5 = x_1 + 23$。
  • モード 23: 23 が他のどの数字よりも多く表示されます。 $x_3 = 23$と同様に、$x_2 = 23$または$x_4 = 23$が必要です。

$x_2 = x_3 = x_4 = 23$ にすることはできません。$x_1 + x_5 = 46$ は $x_5 - x_1 = 23$ のままになります。 $x_1 = 11{,}5$、整数ではありません。したがって、23 はちょうど 2 回出現し、他の 3 つの数字は次のようになります。 互いに区別されていること（そうでなければ、ファッションにおいて同点になってしまいます）。

2。 $x_2 = 23$ と $x_4 > 23$ の場合。 合計から: $x_1 + x_4 + (x_1 + 23) = 69$、次に $x_4 = 46 - 2x_1$。 $23 < x_4 \leq x_5$ が必要です:

$$46 - 2x_1 > 23 \Rightarrow x_1 \leq 11 \qquad 46 - 2x_1 \leq x_1 + 23 \Rightarrow x_1 \geq 8$$

これらは 4 リストです: $x_1 = 8, 9, 10, 11$、たとえば $(8, 23, 23, 30, 31)$。

3。 $x_4 = 23$ と $x_2 < 23$ の場合。 合計から: $x_1 + x_2 + (x_1 + 23) = 69$、次に $x_2 = 46 - 2x_1$。 $x_1 \leq x_2 < 23$ が必要です:

$$46 - 2x_1 < 23 \Rightarrow x_1 \geq 12 \qquad x_1 \leq 46 - 2x_1 \Rightarrow x_1 \leq 15$$

これらは 4 リストです: $x_1 = 12, 13, 14, 15$、たとえば $(12, 22, 23, 23, 35)$。

いずれの場合も 23 を超えて値が繰り返されることはないため、モードは実際には 23 になります。

4。合計: $4 + 4 = 8$ リスト。

答え: 代替 A (8)。

確認するには、[位置測定](https://www.eulereyes.com/jp/posts/basic/real/estatistica/descritiva/posest/） および分散対策.

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質問 35: ガラスに映るデジタル時計の時刻

声明

デジタル時計は、特定の時間を表すために次の数字を使用します。

この時計はガラスのテーブルの上に置かれており、ガラスの文字盤に時間が反映されます。 表面。図は、この状況の例を示しています。

00:00 から 23:59 まで、ガラスは有効時間を何回反射しますか?

  • A) 96
  • B) 360
  • C) 540
  • D) 640
  • E) 960

解決

1。反射の作用 時計の下にガラスがあるので、 画像が上から下に反転します。 下に、左から右の数字の順序を維持します (18:02 は 18:05 になります)。

2。どの桁が桁のままになるか。 各数字を上から下に反転します。

  • $0 \to 0$、$1 \to 1$、$3 \to 3$、$8 \to 8$ (対称)。
  • $2 \to 5$ と $5 \to 2$ (写真はこれです)。
  • $4$、$6$、$7$、$9$は数字ではない数字になります（例えば、6を反転すると「腹」が入ります） 上と左、この時計の9ではありません）。

したがって、数字 $\{0, 1, 2, 3, 5, 8\}$ のみが役に立ちます。

3。反射も時間となる HH:MM の時間を数えてください。

  • 時の十: は 0、1、2 のいずれかになりますが、反映された 2 は 5 となり、5_ の時刻はありません。 2 のオプションが残っています (0 または 1)。
  • 時間単位: 10 個の 0 または 1 で、反映の前後に任意の有効な数字を使用できます: 6 オプション。
  • 分の十: は最大 5: $\{0, 1, 2, 3, 5\}$ である必要があり、反射 $\{0, 1, 5, 3, 2\}$ も最大 5: 5 のオプションです。
  • 分単位： 6 オプション。
$$2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 6 = 360$$

答え: 代替 B (360)。

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質問 48: 輸送箱への梱包

声明

食品会社は、寸法が定められた真っ直ぐな直方体の形状のパッケージを使用しています。 2 cm x 3 cm x 11 cm、クッキーの保管用。この製品を輸送するには、箱が使用されます。 これらのパッケージを、同様に直線的な直方体の形状で、寸法を指定してパッケージングする 12cm×13cm×26cm。次の図は、真っすぐな直方体を示しています。

各密閉箱に梱包できるパッケージの最大数を決定します。 製品に損傷を与えることなく輸送してください。

  • A) 48
  • B) 52
  • C) 56
  • D) 60
  • E) 61

注: 公式テンプレート (24/11/2023 で修正) では、FUVEST は代替案が正しいとみなしました。 D e E.

解決

1。体積による制限。 各パッケージは $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$ cm³ で、ボックスは $12 \cdot 13 \cdot 26 = 4\thinspace 056$ cm3。 $4\thinspace 056 / 66 \approx 61{,}5$ としては61 以上には適合しません 梱包。

2。 60 の配置。 11 cm の辺が 26 cm の辺に沿って荷物を置きます: 2 つ レイヤーは $22$ cm を占めます。各レイヤーは長方形 $12 \times 13$ で、完全に覆うことができます。 26 $2 \times 3$ の長方形 (そのうちの 18 を含む 1 つのストライプ $12 \times 9$ と、8 を含む 1 つのストライプ $12 \times 4$)。 こちらは$2 \cdot 26 = 52$のパッケージです。 $12 \times 13 \times 4$ スライスが残っており、さらに多くのスライスを収めることができます 8 (12 cm に沿った 11 cm、および面 $13 \times 4$ と $4 \cdot 2$ の長方形 $3 \times 2$)。合計: 60。

3。 61 の配置 次に、11 cm の辺を 13 cm の辺に沿って配置します。

  • ブロック $12 \times 11 \times 26$: 12 cm に沿った 3 cm (4 行) および 26 cm に沿った 2 cm (13 行)、11 cm に沿って 11 cm: $4 \cdot 13 = 52$ パッケージ、余分なものはありません。
  • $12 \times 2 \times 26$ 枚のスライスが残っています (厚さ 2 cm)。その中に、パッケージが置かれます 厚さ 2 cm、面 $12 \times 26$ は長方形 $3 \times 11$: $4 \cdot 2 = 8$ を受け取ります。 (12 に沿って 3、26 に沿って 11、22 cm を使用)、残りの範囲 $12 \times 4$ には、さらに 1 つのスペースがあります (11 は 12 に沿って、3 は 4 に沿って)。 9です。

合計: $52 + 9 = 61$、アイテム 1 の制限とまったく同じです。したがって、 最大値は61となります。

答え: 最大値は 61、代わりに E です。公式 FUVEST テンプレートはD と E を受け入れました。

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質問 49: ガレージに残っているスペース (平行四辺形)

声明

サンパウロ市の建築物法には、求人に関する規定があります。 1 つの建物内にさまざまな種類の車両を駐車できます。コードによると、寸法は 駐車スペースは、次の表に従って車両の種類に応じて設定されます。

表: 車両の種類に応じた駐車スペースの寸法 (メートル単位)。

車両の種類 幅 長さ
自動車 2,20 4,50
障害者用車両 3,70 5,00
オートバイ 1,00 2,00
ユーティリティ 2,50 5,50
軽トラック 3,10 8,00

サンパウロ市庁舎の工事および建築基準。適応されました。

次の図は、建物のガレージ プロジェクトの一部を示しています。空席が予測されました 乗用車とバイクの駐車スペースは、角度αが60°の平行四辺形状です。

注: 画像は縮尺通りではありません。

バイクを駐車した後、ガレージにはスペースが残りました。作業責任者は、 建物の居住者が使用できるオブジェクトを配置する可能性。対策は何ですか このスペース内の強調表示された (破線) セグメントのどれですか?

  • A) 0,75 m
  • B) 1,15 m
  • C) 1,25 m
  • D) 2,20 m
  • E) 2,25 m

次のことに注意して採用してください。 $\cos(60^\circ) = 0{,}5$ ; $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解決

図から、 各スペースの幅は水平方向（平行線に沿って）で測定され、 傾いた辺が長さとなり、$60^\circ$が水平になります。

1。最後のカースペースの傾斜面 右上隅から出てきます（車に寄りかかっています）。 壁)、長さ $4{,}50$ m で一番下の線まで下降します。その水平変位は

$$4{,}50 \cdot \cos 60^\circ = 4{,}50 \cdot 0{,}5 = 2{,}25 \text{ m}$$

つまり、その側の足は壁の左側に $2{,}25$ m あります。

2。自転車の位置 まさにその足元から始まります（自転車の左側が傾斜している側になります）。 車のスペース) を占め、最終的にはその幅を占有します: $1{,}00$ m。

3。壁に残されたもの:

$$2{,}25 - 1{,}00 = 1{,}25 \text{ m}$$

答え: 代替 C (1,25 m)。

落とし穴に注意してください: 代替 E (2,25 m) は、空孔の長さの水平投影にすぎません。 車で。彼女はバイクのスペースの幅を考慮するのを忘れています。

確認するには、平行線.

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質問 59: 指数関数とその逆関数

声明

$f(x) = b^x$、$b > 0$、$b \neq 1$、$x \in \mathbb{R}$ で与えられる関数 $f$ とその逆関数を考えてみましょう。 $f^{-1}$。この図では 2 つの点が強調表示されており、1 つは $f$ グラフに属し、もう 1 つは $f^{-1}$ グラフに属しています。 $b + k$を決定します。

  • A) $\frac{5}{6}$
  • B) $1$
  • C) $\frac{6}{5}$
  • D) $\frac{13}{5}$
  • E) $\frac{18}{5}$

解決

1。どの点がどのグラフのものなのか $f(x) = b^x$ のグラフは $y$ 軸を（$y = 1$ で）切って存在します。 すべての $x$ に対して。 $x$ 軸に右に近づく曲線です。 $\left(3, \frac{27}{125}\right)$。 $f^{-1}(x) = \log_b x$ のグラフは $x > 0$ のみに存在し、曲線です。 これは軸 $y$ に接着され、点 $\left(\frac{9}{25}, k\right)$ があります。

2。 $b$ を見つけてください。

$$f(3) = b^3 = \frac{27}{125} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{3}{5}$$

3。 $k$ を見つけます。 点 $\left(\frac{9}{25}, k\right)$ は逆グラフ上にあるので、 $f^{-1}\left(\frac{9}{25}\right) = k$、つまり$f(k) = \frac{9}{25}$:

$$\left(\frac{3}{5}\right)^k = \frac{9}{25} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 \quad\Rightarrow\quad k = 2$$

4。 $b + k = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5}$ を追加します。

答え: 代替 D ($\frac{13}{5}$)。

確認するには、対数のプロパティ.

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質問 60: 線形システムのグラフ

声明

線形システムを考えてみましょう $\begin{cases} x + 2y = 4 \\\\ 3x - y = 5 \end{cases}$。 このシステムをグラフィックで表す代替案を選択してください。

解決

各方程式は直線です。右のグラフには合流点だけでなく右の線が2 本あります。 そうです。

1。システム解 2 番目の方程式 $y = 3x - 5$ から。 1番目に置き換える：

$$x + 2(3x - 5) = 4 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2, \quad y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$$

線は$(2, 1)$で交差します。

2。すべての直線です。

  • $x + 2y = 4$: $(0, 2)$ と $(4, 0)$ を通過します。スロープ $-\frac{1}{2}$ (ゆっくりと下ります)。
  • $3x - y = 5$: $(0, -5)$ と $(2, 1)$ を通過します。坂道 $3$ (急に上がります)。

3。比較 A、B、C の線は $(2, 1)$ で交差しません。 D と E では、会議は $(2, 1)$ にありますが、 D 減少する線は非常に急勾配であるため (軸 $y$ を 4,5 の近くで切断)、$x + 2y = 4$ ではありません。で E では、減少する線は $(0, 2)$ と $(4, 0)$ を通過し、増加する線は $(0, -5)$ を通過します。この 2 つは一致します。

答え: 代替案E。

キャッチに注意してください: 代替案 D も、$(2, 1)$ で交差する直線を示しています。チェックしてください 交差点だけでは十分ではありません。各直線が軸と交差する点を確認する必要があります。

確認するには、1 次関数.

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質問 63: ピタゴラス木 (PG と対数)

声明

ピタゴラスの木は、段階的に構築される平らな図形です。ステップ1では、 一辺の正方形1cm。ステップ2では、ステップ1の正方形の上に次のように2つの正方形が構築されます。 その辺の長さは、次の直角二等辺三角形の足の長さと等しいこと。 ステップ1の正方形の辺に等しい斜辺。ステップ 3 では、ステップ 2 が新しい各 取得した正方形など。言い換えれば、新しい各ステージでは、前のステージがそれぞれのステージに適用されます。 得られた新しい正方形の数。次の図は、ツリー構築の最初の 4 つの段階を示しています。 ピタゴラス派。

*パブリックドメイン。 https://commons.wikimedia.org/.*で入手可能

建設のどの段階で得られた新しい正方形のそれぞれの辺は、初めて次のようになりますか? ステップ1の正方形の辺の11万分の1未満ですか？

  • A) 26
  • B) 27
  • C) 28
  • D) 29
  • E) 30

注意して採用してください: $\log_{10} 2 = 0{,}3$

解決

1。ステップ間の比率。 斜辺 $\ell$ を持つ直角二等辺三角形の各辺の寸法 $\frac{\ell}{\sqrt{2}}$。その後、各ステップで辺に $\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$ が乗算されます。

2。ステップ $n$ のサイド (最初の項 1 の PG):

$$\ell_n = \left(2^{-1/2}\right)^{n-1} = 2^{-\frac{n-1}{2}}$$

3。条件 10,000 分の 1 は $10^{-4}$:

$$2^{-\frac{n-1}{2}} < 10^{-4}$$

$\log_{10}$ を適用する (増加しています):

$$-\frac{n-1}{2}\cdot 0{,}3 < -4 \quad\Rightarrow\quad (n-1)\cdot 0{,}15 > 4 \quad\Rightarrow\quad n - 1 > 26{,}\overline{6}$$

最小の整数は$n - 1 = 27$、つまり$n = 28$です。

チェック: ステップ 27、$\ell = 2^{-13} = \frac{1}{8192} \approx 1{,}2 \times 10^{-4}$ (さらに上位);ステップ28では、 $\ell = 2^{-13{,}5} \approx 0{,}86 \times 10^{-4}$ (マイナー)。

答え: 代替 C (28)。

キャッチに注意してください: $\ell_n = 2^{-n/2}$ を使用すると、代替 B (27) が表示されます。 ステップ 1 にはすでにサイド $1 = 2^0$ があります。

確認するには、対数のプロパティ.

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質問 84: 女性の殺人率 (グラフの見方)

声明

『The Violence Atlas』（2019 年発行、応用経済研究研究所およびフォーラム主催） ブラジル公安は、国内の暴力をより深く理解するための研究を紹介します。データ そこに記載されているものは、2007 年から 2017 年までの期間を指します。この文書の章の 1 つは次のことを扱います。 具体的には女性に対する暴力。次のグラフは殺人率の推移を示しています 2007 年から 2017 年までのブラジルおよびインドにおける女性の数（女性 10 万人当たりの殺人件数に相当） 2017 年に最も金利が低かった 3 つの連邦単位。

Ipea/FBSP。暴力のアトラス、2019。

提示されたデータによれば、次のことは正しいです。

  • A) 言及した連邦単位の中で、2014 から 2017 までの期間に女性殺人率が最も減少したのはサンパウロでした。
  • B) 示された 3 つの連邦単位では、2007 の女性殺人率と比較して 2017 の女性殺人率が減少しました。
  • C) 2017 におけるブラジルの女性殺人率は、同じ年に発表された 3 つの連邦単位の殺人率の合計よりも高くなっています。
  • D) 言及した連邦単位の中で、2017 で女性殺人率が最も高いのはサンタ カタリーナ州であり、南部地域の他の州で記録された率を上回っています。
  • E) 言及した連邦単位の中で、調査で記録された 2016 と 2017 の間の女性殺人率の最大の減少は連邦管区で発生しました。

解決

グラフのおおよその読み取り値 (100 女性あたりの割合):

2007 2014 2016 2017
ブラジル 3,9 4,6 4,5 4,7
連邦管区 4,3 4,1 4,1 2,9
サンタ カタリーナ 2,3 3,2 3,1 3,1
サンパウロ 2,8 2,7 2,2 2,2

A) 誤り。 2014 から 2017 までに、DF は約 $4{,}1 - 2{,}9 = 1{,}2$ ポイント低下しました。サンパウロはわずか約100メートルの差に過ぎなかった $2{,}7 - 2{,}2 = 0{,}5$。

B) 誤り。 サンタ カタリーナは 2,3 (2007) 付近から 3,1 (2017) まで上昇しました。

C) 誤り。 2017 の 3 つのレートの合計は約 $2{,}9 + 3{,}1 + 2{,}2 = 8{,}2$ で、 ブラジル (4,7 について)。

D) 誤り。 実際には 2017 の 3 つのレートのうちサンタ カタリーナが最も高いですが、グラフには他のレートが表示されません。 南部地域の州（パラナ州とリオグランデ・ド・スル州）。彼女がそれらを超えていると結論付けることはできません。さらに、 声明自体には、これら 3 つのユニットの料金が 2017 国内で最も低い と記載されています。

E) 本当です。 2016 から 2017 まで、DF は約 4,1 から 2,9 に低下しました (約 1,2 の低下)。 サンタ・カタリーナ州はほぼ安定しており、サンパウロ州はほとんど変化がなかった。

答え: 代替案E。

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質問 85: 三角形と長方形の数

声明

比喩的な数字は、特定の幾何学的構成における点の総数を表す数字です。 1 つ 比喩的な数の例としては、三角数という表現できる自然数があります。 幾何学的に三角形の形をしています。最初の 4 つの三角数を次のように示します。 図 I. 数値 1 は三角形を表しませんが、三角数とみなされます。

比喩的な数字の別の例は、フレーム内のポイントの総数を表す長方形の数字です。 列数が行数より 1 単位多い長方形。最初の 4 つ 長方形の数字を図 II に示します。 2という数字は長方形のテーブルを表しませんが、 それは長方形の数とみなされます。

三角数と長方形数について、正しいものを選択してください。

  • A) 162 は 15 番目の三角数です。
  • B) 13 番目の三角数は素数、30 番目の長楕円数は奇数です。
  • C) 156 は長方形でも三角数でもありません。
  • D) 210 は三角形で長方形の数です。
  • E) 連続する 2 つの三角数の差は等比数列の項です。

解決

1。数式 $n$ 番目の三角数は $1 + 2 + \cdots + n$ です。

$$T_n = \frac{n(n+1)}{2} \qquad (1, 3, 6, 10, \ldots)$$

$n$ 番目の長方形の数値は、$n$ 行と $n + 1$ 列からなるテーブルです。

$$O_n = n(n+1) \qquad (2, 6, 12, 20, \ldots)$$

2。代替案をテストします。

  • A) $T_{15} = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120 \neq 162$。間違い。
  • B) $T_{13} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 91 = 7 \cdot 13$、これは素数ではありません ($O_{30} = 30 \cdot 31 = 930$ は偶数です)。間違い。
  • C) $156 = 12 \cdot 13 = O_{12}$ は長方形です。間違い。
  • D) $210 = \frac{20 \cdot 21}{2} = T_{20}$ および $210 = 14 \cdot 15 = O_{14}$。 本当です。
  • E) $T_{n+1} - T_n = n + 1$: 差分 $2, 3, 4, \ldots$ は等比数列ではなく等差数列 を形成します。間違い。

答え: 代替 D (210)。

確認するには、数値シーケンスを使用したジオメトリ.

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