三角関数の不等式 (第 VIII 章)。
Teste 172CESCEA-74
区間 $[0, \pi]$ における不等式 $\operatorname{sen}^2 x - \frac{1}{2} \ge 0$ の解は次のとおりです。
$\operatorname{sen}^2 x \ge \frac{1}{2} \iff |\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$; $[0, \pi]$、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$にあります。
Teste 173CESCEM-72
不等式 $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}^2 x > 0$ を考えてみましょう。次のように言えます:
$\operatorname{sen} x(1 + \operatorname{sen} x) > 0$。 $1 + \operatorname{sen} x \ge 0$ と同様、$\operatorname{sen} x = -1$ の場合のみ null となり、不等式は $\operatorname{sen} x > 0$ と同等になります。
Teste 174CESCEA-71
閉区間 $[0, 2\pi]$ における不等式 $\operatorname{sen}^2 x < 2\operatorname{sen} x$ の解は次のとおりです。
$\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2) < 0$; $\operatorname{sen} x - 2 < 0$ と同様に、不等式は $\operatorname{sen} x > 0$ と等しくなります。つまり、$[0, 2\pi]$、$0 < x < \pi$ です。
Teste 175GV-72
区間 $[0, \pi]$ における不等式 $\sqrt{2}\cos^2 x > \cos x$ の解は次のとおりです。
$\cos x(\sqrt{2}\cos x - 1) > 0 \iff \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $\cos x < 0$; $[0, \pi]$ の場合: $0 \le x < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$。極端な $\frac{\pi}{4}$ が成立する (不等式が厳密である) 場合を除き、代替案 (a) は正しいです。
Teste 176MACK-75
$0 \le x \le 2\pi$ の場合、$(\operatorname{sen} x + \cos x)^2 > 1$ のソリューション セットは次のとおりです。
$(\operatorname{sen} x + \cos x)^2 = 1 + \operatorname{sen} 2x > 1 \iff \operatorname{sen} 2x > 0 \iff 0 < x < \frac{\pi}{2}$ または $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ ($[0, 2\pi]$ 内)。
Teste 177ITA-76
不等式 $4\operatorname{sen}^2 x - 2(1 + \sqrt{2})\operatorname{sen} x + \sqrt{2} < 0$ には次のような解 $x$ があります。
$s = \operatorname{sen} x$ の三項式の根は $\frac{1}{2}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です (判別式は $4(\sqrt{2} - 1)^2$)。この不等式は $\frac{1}{2} < \operatorname{sen} x < \frac{\sqrt{2}}{2}$、たとえば $30^\circ < x < 45^\circ$ に適用されます。 $35^\circ$ と $45^\circ$ の間のすべての $x$ が解になります。
Teste 178MACK-73
$0 \le \alpha \le \pi$ であり、すべての実数 $x$、$x^2 + x + \operatorname{tg}\alpha > \frac{3}{4}$ の場合、次のようになります。
三項式 $x^2 + x + \left(\operatorname{tg}\alpha - \frac{3}{4}\right)$ は、判別式が負の場合、すべての $x$ に対して正になります: $1 - 4\operatorname{tg}\alpha + 3 < 0$、つまり $\operatorname{tg}\alpha > 1$。 $[0, \pi]$:$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$。
Teste 179CESCEA-71
閉区間 $[0, 2\pi]$ における不等式 $\operatorname{sen} 2x \cdot \left(\sec^2 x - \frac{1}{3}\right) \le 0$ の解は次のとおりです。
が定義されている場合、$\sec^2 x - \frac{1}{3} \ge 1 - \frac{1}{3} > 0$;この不等式は、$\operatorname{sen} 2x \le 0$ と $\cos x \ne 0$: $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$ または $\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$ (および $x = 0$) に相当します。印刷されたテンプレートは (b) を示します。これは $\operatorname{sen} 2x \ge 0$、つまり逆不等式の解です。
Teste 180CESCEA-75
$(1 + \operatorname{sen} x)(1 - \cos x)\left(\frac{\pi}{2} - x\right) < 0$ に対する $x \in\, ]0, \pi[$ の値は次のとおりです。
$]0, \pi[$、$1 + \operatorname{sen} x > 0$、および $1 - \cos x > 0$。 $\frac{\pi}{2} - x < 0$、つまり$x > \frac{\pi}{2}$の場合、積は負になります。
Teste 181MACK-73
システム $\operatorname{sen} 2x > 0$、$\operatorname{cotg} x < 0$ の解に対応する三角円の点:
$\operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x > 0$ は、同じ符号のサインとコサイン (第 1 象限または第 3 象限) を必要とします。 $\operatorname{cotg} x < 0$ には反対の符号 (2 番目または 4 番目) が必要です。解決策はありません。
Teste 182S. CARLOS-68
$|\cos x| \ge \operatorname{sen} x$ と $0 < x < 2\pi$ の不等式は、次の場合にのみ有効です。
$\operatorname{sen} x \le 0$ ($\pi \le x < 2\pi$) の場合、不等式は自動的に成立します。 $\operatorname{sen} x > 0$、$|\cos x| \ge \operatorname{sen} x$、つまり $0 < x \le \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} \le x < \pi$ が必要な場合。結合: $0 < x \le \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} \le x < 2\pi$。
Teste 183MAUÁ-69
$0$ ラジアンと $2\pi$ ラジアンの間で、不等式 $\cos x + \sqrt{3}\operatorname{sen} x > \sqrt{2}$ を満たすすべての円弧は、次の間に含まれます。
$\cos x + \sqrt{3}\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) > \sqrt{2} \iff \frac{\pi}{4} < x + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{4} \iff \frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}$.
Teste 184ITA-71
$n$ を整数、$n > 1$、$x \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ とします。次の文のうち、常に正しいのはどれですか?
これはベルヌーイの不等式です: $0 < s < 1$, $(1 - s)^n \ge 1 - ns$ (帰納法により証明: $(1 - s)^{n+1} \ge (1 - ns)(1 - s) = 1 - (n + 1)s + ns^2 \ge 1 - (n + 1)s$)。
Teste 185GV-75
$y = \log(1 - \operatorname{sen}^2 x)$ が実数値を持つには、$k$ 整数が必要です。
$1 - \operatorname{sen}^2 x = \cos^2 x$ は正の値である必要があります: $\cos x \ne 0$、つまり $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$。
Teste 186MACK-74
$\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} y = 2\operatorname{sen}\frac{x - y}{2}\cos\frac{x + y}{2}$ であり、$|\operatorname{sen} z| \le |z|$、$|\cos t| \le 1$、$|ab| = |a||b|$ を思い出すと、任意の実数 $x$ と $y$ について次のように言えます。
テスト115:$|\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} y| = 2\left|\operatorname{sen}\frac{x - y}{2}\right|\left|\cos\frac{x + y}{2}\right| \le |x - y|$と同じ問題です。
Teste 187ITA-76
製品 $P = (\operatorname{sen} bx + \operatorname{cossec} bx)(\cos bx + \sec bx)(\operatorname{tg} bx + \operatorname{cotg} bx)$ については、次のように言えます。
$u = bx$ の場合: $P = \frac{\operatorname{sen}^2 u + 1}{\operatorname{sen} u} \cdot \frac{\cos^2 u + 1}{\cos u} \cdot \frac{1}{\operatorname{sen} u\cos u} = \frac{(\operatorname{sen}^2 u + 1)(\cos^2 u + 1)}{\operatorname{sen}^2 u\cos^2 u} > 0$、それが存在する場合、つまり $\operatorname{sen} u$ と $\cos u$ が互いに打ち消し合わない場合: $bx \ne \frac{k\pi}{2}$。
Teste 188ITA-68
$y = a^{\log\operatorname{tg} x}$ を $0 < a < 1$ とします。ここで、$\log u$ は $u$ のネペリアン対数を示します。次に、$\log y \ge 0$ の場合:
$\log y = (\log\operatorname{tg} x)(\log a)$、$\log a < 0$付き。次に $\log y \ge 0 \iff \log\operatorname{tg} x \le 0 \iff 0 < \operatorname{tg} x \le 1$: $0 < x \le \frac{\pi}{4}$ または $\pi < x \le \frac{5\pi}{4}$ (1 周目)。
