生徒に「9 の平方根は？」と聞けば、たいてい「3」と答えるでしょう。では、なぜ「根」と呼ぶのか、なぜ「平方」なのかと聞くと、話はたいていそこで終わってしまいます。名前は中身のないラベルになり、記号 $\sqrt{\phantom{9}}$ は、数から何かを「引き抜く」奇妙なかぎ形になってしまいました。

けれども、この名前はかつて物語のすべてを語っていました。ギリシアの幾何学者は、求める数をただ辺（pleurá）と呼んでいました。面積 9 の正方形の辺は 3 です。アラビアの代数学者はそれを、正方形が「生えてくる」根という意味で jidhr と呼び、中世のラテン語訳者は radix と書きました。たとえば次の文は、

$$\textit{radix quadrati 4 aequalis 2}$$

何の謎もなく、こう言っていたのです。面積 4 の正方形の辺は 2 に等しい。

面積 1 の小さな正方形 9 個で、辺が 3 の正方形ができる。9 の平方根は、この正方形の辺である。
面積 1 の小さな正方形 9 個で、辺が 3 の正方形ができる。9 の平方根は、この正方形の辺である。この本のために作成した説明図。

ラテン語からかぎ形へ

ある日だれかが、文を記号に置きかえようと決めたわけではありません。計算を手で写す人たちは、いちばんよく繰り返す言葉を略し、その略記は世代ごとに短くなっていきました。次の流れは模式的なものですが、中世の写本から 16 世紀の印刷本までに書き方がたどった道筋に沿っています。

radix quadrati が √ になるまで（クリックで進む）

  1. radix quadrati 4 aequalis 2：「面積 4 の正方形の辺は 2 に等しい」。
  2. rad. quad. 4 aeq. 2：写字生が、よく繰り返す言葉を略す。
  3. R. q. 4 aeq. 2：ほとんど R の字だけが残る。16 世紀のカルダーノやボンベリもまだこれを使っていた。
  4. $r\,4 = 2$：ドイツ語の文献では、引きのばした小文字の r が根を表す。
  5. $\sqrt{4}=2$：r の線がのびて数を「のみこむ」。1525 年にクリストフ・ルドルフがこの記号を印刷し、1637 年にデカルトが、根号の中の数をおおう横線を加えた。

記号は速さを手に入れ、記憶を失いました。今日 $\sqrt{4}$ を読む人には、もう正方形は見えません。だから、生徒が「$\sqrt{4}$ は $2$ なのか $-2$ なのか」とたずねたとき、いちばんはっきりした答えは古い名前から出てきます。辺の長さが負になることはありません。$\sqrt{a}$ はつねに負でない値を表す、という現代の約束は、記号が忘れてしまった幾何学の直接の遺産なのです。

数学は記号でつくられている

どんな数学の本でも開いてみれば、言葉、数字、文字、記号、矢印、図、そして余白が入りまじっているのが見えます。私たちはこの混合を、ほとんど自然なもののように読めるようになります。$3+4=7$、$x^2$、$\frac{a}{b}$、$\int_a^b f(x)\,dx$ を見れば、苦もなく演算や関係を読みとります。けれども、この読み方は学んで身につけたものであり、これらの記号にはそれぞれ誕生日があります。

下の年表をたどってみてください。書き方が変わることで考え方が変わった、六つの場面が示されています。

数学の書き方の歴史における六つの場面。示した書き方は説明のための再構成であり、写本の複製ではない。

記号論は記号の研究です。紙の上の印が、だれかにとって何かを意味するようになるのはどうしてか、を考えます。この本では記号論の道具を使って、ふだんとはちがう角度から数学を見ていきます。「この式は何を言っているのか」と問うだけでなく、この書き方で何ができるのかとも問うのです。

生きた記法と不毛な記法

同じ内容の二つの書き方を比べるのが、ちがいを見るいちばんの方法です。ニュートンとライプニッツは、1660 年代から 1670 年代にかけて、ほぼ同時に微積分を発明しました。ニュートンは $y$ の変化率を、文字の上に点を打って $\dot{y}$ と書きました。ライプニッツは $\dfrac{dy}{dx}$ と書きました。内容としては同じです。けれども計算する手にとっては、同じではありません。二つの書き方で連鎖律を見てみましょう。

$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} \qquad\text{と}\qquad \dot{z}=\ldots\;?$$

ライプニッツの記法では、規則がほとんどひとりでに書けてしまいます。分数のかけ算のように、$dy$ が「約分」されるように見えるからです。ニュートンの記法には見るべきものが何もなく、規則を覚えておくしかありません。ライプニッツの記法は次の一歩を示唆し、ニュートンの記法は結果を記録するだけです。

この本では、対象の関係をその形に宿していて、そのため対象について新しいことを発見する助けになる書き方を、生きた記法と呼びます。このサイトの以前の書き手たちは、それをラテン語で mirabilis abbreviatio（すばらしい省略）と呼んでいました。文章を短くしても、思考は短くしない省略です。一方、すでに知られていることを正しく記録はしても、どこも指し示さない書き方を不毛な記法と呼びます。ゼロを使う位取り記数法は生きた記法であり、計算のためのローマ数字は不毛です。かけ算をたし算に変えるネイピアの対数は生きた記法です。平方根は、正方形の記憶を失うと、学ぶ人の頭の中で不毛になる危険があります。

よい記法は、脳を不要な仕事からすべて解放することで、より高度な問題に集中できるようにし、実質的に人類の知的な力を高める。

— アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド『数学入門』（1911）

これは、記号が私たちのかわりに考えるという意味でも、定理の真偽が記号の見た目で決まるという意味でもありません。人間の営みとしての数学は記号で行われる、という意味です。私たちは記号を使って問題を立て、計算をし、証明を書きます。そして記号の形は、ある道を通りやすくし、別の道を隠します。次の記事からは、この歴史をたどっていきます。計算できるようになった数字、証明に寄り添う図、言葉を文字に置きかえた代数、演算の小さな記号、そしてニュートンのドットとライプニッツの $d$ の大論争です。

練習問題：ラテン語を訳して図をかく

Radix quadrati 81 aequalis 9 は、面積 $81$ の正方形の辺が $9$ であることを言っています。現代の記法では $\sqrt{81}=9$ です。$9\cdot 9=81$ だからです。図は $9\times 9$ 個の小さな正方形でできた正方形になります。

では、面積 $2$ の正方形の辺は？　それは存在します（辺が $1$ の正方形の対角線です）が、整数でも分数でもありません。$\sqrt{2}=1.41421\ldots$

練習問題：立方体の辺

「体積 27 の立方体の辺は 3 に等しい」は、ラテン語なら radix cubica 27 aequalis 3 です。現代の書き方では $\sqrt[3]{27}=3$。$3\cdot3\cdot3=27$ だからです。かぎ形にそえた小さな $3$ は、cubica という言葉のなごりです。

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