緯線は直線の外側の点を通過します。この合格するのは 1 つだけであるということは、幾何学の歴史の中で最も議論されています。

発見者

並列性の存在はユークリッド (命題 I.31) によって証明されています。その一意性は、多くの人が定理に変換しようとしてきた第５ 公準 に依存します。現在学校で使用されている形式、つまり「単一の平行線が直線の外側の点を通過する」は、1795 で広めたスコットランド人のジョン・ プレイフェアにちなんでプレイフェアの公理として知られるようになりましたが、プロクロスはすでにそれを述べていました。 1829 では、 ロシアのニコライ・ ロバチェフスキーが無限の平行線が通過する幾何学を発表しました。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ジョン・プレイフェア。
ジョン・プレイフェア。サー・ヘンリー・レイバーン (死亡 1823) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ニコライ・ロバチェフスキー、レフ・クリュコフ作の肖像画。
ニコライ・ロバチェフスキー、レフ・クリュコフ作の肖像画。レフ・クリュコフ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

2000 年以上にわたり、数学者は他の公準から 5 番目の公準を証明しようと試みてきました。古代のプトレマイオスとプロクロス、 イスラム世界のイブン・アル＝ ハイサム、オマル・ ハイヤーム、 およびナシル・アル・ディン・ アル・トゥシ、ジローラモ・ サッケリ（1733）、ヨーロッパではランベールとルジャンドル。誰もが気づかないうちに、公準自体と同等のステートメントを使用することになりました。

クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。
クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
イブン・アル・ハイサム、後の芸術表現。
イブン・アル・ハイサム、後の芸術表現。アドルフ・ボイ、ジェレミアス・ファルク作。 Johannes Hevelius、Selenographia、1647 の口絵として使用 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
オマル・ハイヤーム、後の芸術表現。
オマル・ハイヤーム、後の芸術表現。アリレザ・ジャバヘリ · ウィキメディア コモンズ · CC BY 3.0
ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。
ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ、後の芸術表現。著者不明。ソースを表示 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。
アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ジュリアン＝レオポルド・ボイリーの風刺画。ジュリアン＝レオポルド・ボイリー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

転機となったのはロバチェフスキー (1829) とハンガリーのヤーノシュ・ ボリャイ (1832) が独立して公準の否定を受け入れ、矛盾のない幾何学を獲得したときでした。 ガウスも同じ考えに到達しましたが、発表することはありませんでした。第 5 の公準は定理ではありません。それは選択であり、本書の幾何学はそれを採用したものです。

ヤノス・ボリャイ、フェレンツ・マルコスによる想像上の肖像画 (2012)。
ヤノス・ボリャイ、フェレンツ・マルコスによる想像上の肖像画 (2012)。フェレンツ・マルコス · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 3.0
カール・フリードリヒ・ガウス。
カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

日常生活での応用

  • 地図と地球儀。 地球の表面には、ユークリッドの意味での平行線はありません。赤道では平行に見える子午線が、極で交わります。
  • 飛行機のルート サンパウロと東京の間の最短ルートは、平面地図上では直線ではなく、大円弧になります。
  • GPS。 衛星時計は、非ユークリッド幾何学で時空を記述するアインシュタインの理論である一般相対性理論によって補正されます。
  • 技術的な図面。 平行定規とスライド四角形は、各点で、指定された直線に唯一平行するものをトレースします。

出典: 非ユークリッド幾何学 (MacTutor) · 要素、公準 5 · Playfair (MacTutor) · ロバチェフスキー（マックチューター）。

理論と作図

定理パラレルの存在

2 つの異なる同一平面上の線と横断線が交互の (または対応する) 合同角度を決定する場合、これら 2 つの線は平行です: $\alpha \equiv \beta \Rightarrow a \parallel b$。

デモンストレーション（不条理による）

  1. $a$ と $b$ が平行でない場合、それらには共通点 $P$ があります。
  2. $a \cap t = \lbrace A \rbrace$ と $b \cap t = \lbrace B \rbrace$ なので、三角形は $ABP$ になります。
  3. 交互の角度の 1 つはこの三角形の外角となり、もう 1 つは隣接しない内角になります。外角定理 (4 章) により、$\alpha > \beta$ または $\beta > \alpha$ が得られます。
  4. これは $\alpha \equiv \beta$ 仮説と矛盾します。したがって、$a \parallel b$となります。

平行線の構築。 $P$ を通る直線 $a$ に平行線を引くには、$P$ を通る直線 $t$ を通過し、$a$ を $M$ に切ります。 $A \in a$、$A \neq M$をとり、頂点$P$と辺$\overrightarrow{PM}$から、直線$PM$に関して$A$の反対側の半平面にある$B$と角度$M\hat{P}B \equiv A\hat{M}P$を構築します。角度は交互であり、合同です。前の定理 $\overleftrightarrow{PB} \parallel a$ によります。

公準ユークリッドの公準（平行公準）

与えられた直線に平行な点を通る単一の直線。

ユークリッド (300 BC) に由来するこの公準は、 私たちが研究する幾何学であるユークリッド幾何学 を特徴づけます。

$P$を通る線を回転させます。彼女は常に $a$ を見つけますが、単一の位置 (平行) を除いて、時には非常に遠くにあります。

定理逆数: 平行線が一致する代替案を形成する

2 本の異なる平行線が横断線と交差する場合、交互の角度 (または対応する角度) は合同です: $a \parallel b \Rightarrow \alpha \equiv \beta$。

デモを見る

$\alpha$ と $\beta$ が合同でない場合、$b$ とは異なり、$P$ ($\lbrace P \rbrace = b \cap t$) を通過し、$t$ と角度 $\beta^{\prime} \equiv \alpha$ を形成し、$\alpha$ と交互になる直線 $x$ が存在します。存在定理により、$x \parallel a$。したがって、$P$ を通る 2 つの異なる直線、$x$ と $b$ が $a$ に平行に通過することになります。これはユークリッドの公準と矛盾します。ロゴ$\alpha \equiv \beta$。

まとめ必要十分条件

2 つの異なる線が平行であるのは、 横断線と交互の (または対応する) 合同な角度を形成する場合に限ります。

$$\alpha \equiv \beta \iff a \parallel b.$$
フェンスの板: 平面と平行に真っ直ぐ。
フェンスの板: 平面と平行に真っ直ぐ。
窓枠: 平行面。
窓枠: 平行面。