1650 で、ピエトロ メンゴリは、逆二乗の合計がいくらになるかを尋ねました。
$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$
ベルヌーイは試みましたが、失敗しました。合計はゆっくりと増加します。10 項では $1{,}5498$ になります。
100 項では $1{,}6350$ が得られ、1000 項では $1{,}6439$ が得られます。誰もその番号を認識しませんでした
彼女は歩きました。図を参照してください。各バーは $N$ 項までの合計です。
部分和は、π²/6 に向かってますますゆっくりと上昇します。コントローラーをいじったり、100 万の用語をテストしたりできます。
1735 では、オイラーは大胆なアイデアを使用しました。多項式は根から書くことができます。彼は
関数 $\dfrac{\sin x}{x}$ にも同じことが当てはまり、$x = 0$ では $1$ に相当し、 でキャンセルされます。
$x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$:
$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$
図は、このアイデアが機能していることを示しています。青い曲線は $\dfrac{\sin x}{x}$ で、根は赤でマークされています。カーブ
ゴールデンは括弧がいくつかある積です。因子の数を増やして、積が曲線に沿っていることを確認してください。
因子が多いほど、オイラー積は sin(x)/x のようになります。
これらすべての括弧を掛け合わせると、$x^2$ の項は次のようになります。
$$-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots\right)x^2 = -\frac{x^2}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.$$
一方、正弦テイラー級数は次のようになります。
$$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\right) = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots$$
2 つの式は同じ関数を表すため、$x^2$ の係数は同じでなければなりません。
$$\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644934.$$
円の幾何学的な数値である $\pi$ が分数の合計で表示されるとは誰も予想していませんでした。議論
オイラーの公式は今日の標準から見て厳密ではありませんでした: $\frac{\sin x}{x}$ を積として書く
無限が正当化されたのは、わずか 1 世紀後、ヴァイエルシュトラスによってでした。しかし、結果は正しかったので、
オイラーは小数点以下の桁数を数値的にチェックしました。同じ方法で彼は次のことを示しました
$\sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$。
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