Euler's Eyes
2026-10-14
クラドニ図形と振動板の懸賞
中心で固定した金属板に砂をまき、ふちをバイオリンの弓でこすってみましょう。板は歌いはじめ、砂はまるで自分の意志があるかのように、ある場所からは逃げ、別の場所に集まって、線や十字や星や左右対称の曲線を描きます。音を変えると、模様も変わります。これがクラドニ図形です。
目に見える音
ドイツのエルンスト・クラドニは 1787 年、『音の理論についての発見』という本でこれらの図形を発表しました。定性的な説明はかんたんです。板が振動すると、ほとんどの点が上下に動いて砂をはね飛ばします。けれども、動かない線がいくつかあります。これが節線です。砂はそこにすべりこんでとどまります。模様は、板が動かない場所の地図なのです。
クラドニは板を持ってヨーロッパじゅうを回りました。1808 年にはパリでナポレオンの前で実演し、魅了された皇帝は、図形を説明する弾性曲面の数学的理論を出した人に贈る 1 キログラムの金メダルを、科学アカデミーに用意させました。
なぜそれほどむずかしかったのか
振動する弦については、数学はすでにそろっていました。1747 年にダランベールが弦の方程式を書き、オイラーとダニエル・ベルヌーイが、弦は最低音の振動数の整数倍 $f, 2f, 3f, \ldots$ の音で振動することを説明していました。弦は線で、それを引きもどす力は弦がどれだけ傾いているかで決まります。
板はちがいます。板は金属の定規のように曲げられることに抵抗し、しかも二つの方向に同時に曲がります。オイラーは鐘をあつかおうとし、ダニエルのおいのヤコブ・ベルヌーイは板を交差する梁の格子と考えましたが、うまくいきませんでした。審査員の一人ラグランジュは、当時の方法では足りないと考えていました。応募したのはただ一人でした。
三度の挑戦
ソフィー・ジェルマンは一つの仮説から出発しました。板が抵抗する力はその曲率に比例し、曲面ではそれは二つの主方向の曲率を足すことを意味する、というものです。1811 年、彼女は論文を提出しました。計算にまちがいがあり、賞は与えられませんでした。けれどもラグランジュは、彼女の仮説から計算を正して、板の小さな変位 $z(x,y,t)$ についての正しい方程式にたどりつきました。
$$\begin{aligned}&\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\Bigg(\frac{\partial^4 z}{\partial x^4}+2\,\frac{\partial^4 z}{\partial x^2\,\partial y^2}\\&\qquad\qquad+\frac{\partial^4 z}{\partial y^4}\Bigg)=0.\end{aligned}$$4 階の導関数に注目してください。弦の方程式には 2 階の導関数しかありません。階数が高いのは、曲げに対する抵抗のしるしです。
懸賞は再募集されました。1813 年、ソフィーはこの方程式がクラドニの図形のいくつかを再現することを示し、佳作になりました。1816 年、三度目で受賞しました。審査員はまだ、物理的な根拠づけと板のふちでの条件に穴があると指摘しており、それが解決されたのは 1850 年、グスタフ・キルヒホッフによってでした。けれどもその方程式は、今日 $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\,\Delta^2 z=0$ と書かれ、技術者が床や翼やギターの表板を計算するのに今も使っているのと同じものです。
図形を描く
正方形の板では、節線の古典的な近似が
$$\cos(n\pi x)\cos(m\pi y)\pm\cos(m\pi x)\cos(n\pi y)=0$$のような組み合わせで与えられます。$x$ と $y$ は 0 と 1 のあいだです。下の図はこの式で描きました。それぞれの正方形が一枚の板で、明るい線が砂の集まる場所です。
練習問題：m = 1、n = 2、マイナスの符号のとき、対角線 x = y が節線であることを示せ
式は $\cos(2\pi x)\cos(\pi y)-\cos(\pi x)\cos(2\pi y)$ です。対角線 $y=x$ の上では、$\cos(2\pi x)\cos(\pi x)-\cos(\pi x)\cos(2\pi x)=0$ となります。したがって、図の最初の正方形のとおり、対角線全体が動きません。
練習問題：板を、材料も厚さも同じで一辺が 2 倍の板に取りかえると、音はどうなるか？
板の方程式では、時間は 2 階、空間は 4 階の導関数で現れます。距離が 2 倍になると 4 階導関数は $\frac1{2^4}=\frac1{16}$ になり、つり合うには時間についての 2 階導関数も $\frac1{16}$ にならなければなりません。一回の振動にかかる時間は $4$ 倍になります。振動数は $\frac14$、つまり 2 オクターブ下がります。弦なら、長さを 2 倍にしても 1 オクターブしか下がりません。
出典： Louis L. Bucciarelli and Nancy Dworsky, Sophie Germain: An Essay in the History of the Theory of Elasticity（1980）· Ernst Chladni, Entdeckungen über die Theorie des Klanges（1787）· ソフィー・ジェルマンの伝記、MacTutor。
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