Euler's Eyes
2026-10-14
ユークリッドの遺産
彼は下院議員になってから、ユークリッドの六巻を学び、ほぼものにした。
— エイブラハム・リンカーン、自伝的覚え書き（1860）
『原論』は、聖書についで、歴史上最も多く書き写され、訳され、印刷された本のひとつです。1482 年にヴェネツィアで最初の印刷版が出て以来、版は千を超えます。二千年以上のあいだ、「幾何学を学ぶ」とは「ユークリッドを学ぶ」ことでした。
一冊の本の多くの顔
このサイトの旧三角法講座は、ユークリッドの見せ方を変えたいくつかの版を集めていました。
| 年 | 人物 | 版 |
|---|---|---|
| 1120 年ごろ | バースのアデラード | アラビア語からラテン語への翻訳 |
| 1482 | エアハルト・ラトドルト | 最初の印刷版、ヴェネツィア |
| 1570 | ヘンリー・ビリングズリー | 最初の英訳。折ると立体になる紙の図つき |
| 1607 | マテオ・リッチと徐光啓 | 最初の六巻の中国語訳、北京 |
| 1698 | ザムエル・ライヤー | Euclides… mit algebraischen Zeichen、代数記号で書いたユークリッド |
| 1847 | オリヴァー・バーン | The First Six Books of the Elements of Euclid、文字を色に置きかえた版 |
バーン の版は、これまでに印刷された最も美しい本のひとつです。「三角形 $ABC$」と書くかわりに、彼は三角形を黄、赤、青で描き、証明は小さな色つきの図の連なりになります。当時は売れませんでしたが、今では博物館の所蔵品であり、デザイナーたちのインスピレーションの源です。
方法
定理よりも大切だったのは 方法 でした。アイザック・ニュートンは『原論』にならって『プリンキピア』（1687）を書きました。定義、運動の法則と名づけた公理、そして一つひとつ証明される命題です。スピノザは『エチカ』（1677）を「幾何学的秩序にしたがって」書き、神と魂について定義と公理と命題を立てました。アメリカの独立宣言は、公理のように自明とされる真理から始まり、そこから独立の権利を導いています。
イリノイの田舎の弁護士だったエイブラハム・リンカーンは、自分が 証明する とはどういうことかを知らないことに気づきました。それを知るために、巡回裁判の旅に『原論』を持ち歩いたといわれます。彼は最初の六巻を学びました。上の引用で本人が記しているとおりです。
ヒルベルトと現代の数学
1899 年、ドイツのダフィット・ヒルベルトは『幾何学の基礎』を出版し、ユークリッドの仕事を現代の厳密さでやり直しました。すきまのない、図に頼らない二十の公理です。「点」「直線」「平面」という言葉はそれ自体の意味をもたなくなり、大切なのは公理がそれについて何を言っているかだけになりました。明示された公理から出発するこのやり方は、二十世紀にはあらゆる分野の標準になりました。それは、つきつめれば、ユークリッドの方法を最後まで押しすすめたものなのです。
残ったもの
- 幾何学。 三角形、円、相似、面積と体積、ピタゴラスの定理、五つの正多面体。
- 算術。 ユークリッドの互除法、素数の無限性、偶数の完全数 $2^{p-1}(2^p-1)$ の構成。
- 代数。 フワーリズミーが二次方程式を解くのに使った第二巻の恒等式。
- 論理。 明示した定義と公準から出発し、ほかのすべてを証明するという考え。
- 新しい幾何学。 双曲幾何学へ、そしてそれを通じて時空の幾何学へとつながった第五公準。
覚えておきたいこと
- ユークリッドは紀元前 300 年ごろアレクサンドリアに生きた。生涯についてはほとんど何もわからないが、仕事についてはすべてがわかる。
- 『原論』は十三巻、465 の命題からなり、すべて定義と五つの公準と五つの公理から導かれる。
- 定規とコンパスで、半径 $AB$ の二つの円が正三角形をつくる。面積は $\frac{\sqrt3}4s^2$。
- 直角三角形では $a^2=b^2+c^2$。斜辺の下の二つの長方形は、直角をはさむ辺の上の二つの正方形と面積が等しい。
- $(x+5)^2=64$ が $x^2+10x=39$ を解く。平方完成は面積でする代数である。
- $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$。ユークリッドの互除法は余りが 0 になるまで割りつづける。
- $p_1p_2\cdots p_n+1$ はリストの外に素因数をもつ。素数は尽きない。
- 第五公準がなければ、三角形の角の和が $180°$ にならない幾何学がある。
出典： Thomas L. Heath、The Thirteen Books of Euclid’s Elements（Dover、1956）第 1 巻 · Benno Artmann、Euclid: The Creation of Mathematics（Springer、1999）· ユークリッド、MacTutor。