Euler's Eyes
2026-10-10
数学の歴史
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ガウス求積法: 2 点で積分
「二乗」は面積を計算するための古い名前です。ギリシャ人は円の面積を次のように近似しました。 多角形の辺がますます増え、積分微積分が誕生しました。実際的な問題は、どのように計算するかです。 曲線の下の面積を少し計算してみましょう。
最も簡単な方法は台形則 で、曲線の端$x = -1$と$x = 1$だけを見て、 台形の面積を計算します。 1814 でガウスは次のように尋ねました: どこを見るかを選択できるとしたらどうなるでしょうか? 2つで ポイント $\pm t$ と重みが 1 に等しい場合、推定値は次のようになります。
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx f(-t) + f(t).$$
彼は、式ができるだけ多くの多項式に正確に一致することを望んでいました。
ガウス点の検索 (クリックして先に進みます)
- $f(x) = 1$の場合：面積は2、計算式は$1 + 1 = 2$となります。 ✓ 任意の $t$ で動作します。
- $f(x) = x$ (および $x^3$) の場合: 面積は 0 で、計算式は $-t + t = 0$ となります。 ✓ 毎回でも機能します。
- $f(x) = x^2$の場合：面積は$\frac{2}{3}$、計算式は$t^2 + t^2 = 2t^2$となります。
- 等価: $2t^2 = \frac{2}{3}$、次に $t^2 = \frac{1}{3}$、$t = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$。
- 結果: わずか 2 点で、ルールは 3 までの次数の多項式にスポット的にヒットします。
現在、 この方法はガウス・ルジャンドル積分法 と呼ばれており、以下のほぼすべてのプログラムで使用されています。 積分を計算します。これにより、曲線の下の領域、長さ、体積をグラフィカルに見つけることができます。 ビジュアル、小さな部分を追加します。
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