出典: FUVEST – 第 2 段階テスト 2 日目 (質問 M01 から M06)、FUVEST コレクション 2025 で入手できます。

FUVEST 2025 の第 2 フェーズでは、2 日目に、次のような具体的な談話的な質問がありました。 キャリア;この数学検定はM01からM06まで6問あります。各候補者 自分のキャリアの主題だけを解いた（6 つの質問、または 4 つの質問だけ、または 最初の 3 つ）。第 2 段階には多肢選択式の解答用紙はありません。FUVEST は解答用紙を公開しました。 解答ガイド パネルが期待する答えが得られます。以下の決議は私たちのものであり、それぞれの決議は 結果は、このガイドと 2 番目のパスを使用して確認されました。

テンプレート

質問 主題 答え
M01 リニア システム: 文房具のプロモーション b) R$ 32,00; c) プロモーション I および III
M02 条件付き確率と相対リスク a) 0,025; b) ≈ 0,833; c) 145
M03 テーブル内の番号パターン a) $46 + 40n$; b) 10; c) $n$
M04 プライス方式での融資（PGの合計） a) 38; b) R$ 19.294,05; c) $-\log_{1{,}01} 0{,}62$
M05 進行と小数点以下の桁数 a) PA 比 1/8; b) 2; c) $2^{b+1} - 1$
M06 彫刻における三角法 a) 45°; b) $k = 2\tan\alpha$; c) 2,5 m

質問 M01: 文具店のプロモーション (リニア システム)

声明

文房具店では次の 3 つの異なるプロモーションを提供しています。

構成 合計金額 (R$)
昇進Ⅰ 2 ハードカバーノート + 1 色筆箱 + 1 ペンセット 86,00
昇進Ⅱ 3 ハードカバーノート + 3 色筆箱 + 3 ペンセット 174,00
昇進Ⅲ 3 ハードカバーノート + 2 色筆箱 + 2 ペンセット 142,00

この情報に基づいて、次のように答えてください。

a) 未知数 C、L、N が表す 3 つの連立方程式を書きます。 それぞれ、ハードカバーのノート、色鉛筆の箱、 ペンのセット。

b) プロモーション II と III のみを考慮すると、筆箱の価格の合計はいくらになりますか カラーとペンのセット?

c) 色鉛筆の箱とペンのセットの価格の合計は、 3 つのプロモーションがあり、この合計額はハードカバー ノートブックの価格によって異なります。仮定する プロモーションのうちハードカバー ノートの価格が同じなのは 2 つだけです。 この価格は色鉛筆の箱と色鉛筆のセットの価格の合計よりも高いです ペン。このような条件下で、カバー ノートブックの価格が同じプロモーションはどれですか? 長持ちしますか？

解決

a) 各プロモーションでは次の式が得られます (数量 × 価格、合計値が合計値に等しい)。

$$ \begin{cases} 2C + L + N = 86 \\ 3C + 3L + 3N = 174 \\ 3C + 2L + 2N = 142 \end{cases} $$

答え (a): 上記のシステムです。

b) 昇格 II および III の式 (どちらも $C$) を使用して、 最初から 2 番目:

$$(3C + 3L + 3N) - (3C + 2L + 2N) = 174 - 142 \quad\Rightarrow\quad L + N = 32$$

ノートブックは両方のプロモーションで 3 回出現するため、減算で消えます。

答え (b): R$ 32,00。

c) 1。ノートブックの価格が変わるのはなぜですか。 $K = L + N$ に電話してください。ノートがあれば 3 つのプロモーションで同じ価格であれば、II は $C + K = 58$、私は $2C + K = 86$ になります。 次に$C = 28$と$K = 30$。しかし、その場合、III は $3 \cdot 28 + 2 \cdot 30 = 144 \ne 142$ を与えることになります。 (a) のシステムは不可能で、ノートの価格が 3 つすべてで同じになることはあり得ません。

次に、各プロモーションのノートブックの価格として $C_{\text{I}}$、$C_{\text{II}}$、$C_{\text{III}}$ を書き込みます。

$$ \begin{cases} 2C_{\text{I}} + K = 86 \\ 3C_{\text{II}} + 3K = 174 \\ 3C_{\text{III}} + 2K = 142 \end{cases} $$

2。考えられる 3 つのペアをテストします。

  • I と II は等しい ($C$): $2C + K = 86$ と $C + K = 58$。 $C = 28$と$K = 30$を引きます。 ここで $C = 28 < 30 = K$ は機能しません (ノートブックは $K$ よりも高価になる必要があります)。
  • I と III は等しい ($C$): $2C + K = 86$ からは $K = 86 - 2C$ になります。 3 番目: $3C + 2(86 - 2C) = 142 \Rightarrow 172 - C = 142 \Rightarrow C = 30$, e $K = 26$. ここで $C = 30 > 26 = K$ は役立ちます。 (プロモーション II では、$3C_{\text{II}} + 78 = 174$、次に $C_{\text{II}} = 32$)。
  • II と III は等しい ($C$): 項目 (b): $K = 32$ と $3C + 64 = 142$、したがって $C = 26$。 ここで$C = 26 < 32 = K$：機能しません。

答え (c): プロモーション I および III (どちらも R$ 30,00 のノートブック、鉛筆 + ペン) R$ 26,00 に)。

カンファレンス: プロモーション I: $2 \cdot 30 + 26 = 86$ ✔;プロモーション III: $3 \cdot 30 + 2 \cdot 26 = 142$ ✔; プロモーション II: $3 \cdot 32 + 3 \cdot 26 = 174$ ✔。

確認するには、1 次方程式.

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質問 M02: 相対リスク (条件付き確率)

声明

相対リスク (RR) は、確率を比較するために使用される統計用語です。 グループが暴露された場合に、特定のイベントが発生する条件。 ある現象にさらされていない一方で、別の人は同じ現象にさらされていません。用語的には 数学者の皆さん、次のようなものがあります。

$$RR = \frac{P(\text{evento} \mid \text{exposto})}{P(\text{evento} \mid \text{não exposto})}$$

人々のグループが長期間にわたって特定の物質にさらされました。 特定の病気の危険因子となる可能性のある化学物質。 別のグループの人々はこの曝露を受けませんでした。どちらのグループにも、 次の表に示すように、この病気を発症した人と発症しなかった人。

人々 病気とともに 病気がなければ 合計
露出 500 300 800
露出されていない 100 23.100 23.200
合計 600 23.400 24.000

このデータに基づいて、次のように推定されます。

a) 誰かがその病気を発症する確率はどれくらいでしょうか？

b) 個人が病気を発症した場合、その個人が暴露される確率はどれくらいでしょうか？

c) ある人がその病気にさらされた場合にその病気を発症する相対リスク。 化学剤？

解決

a) 24 000 人のうち 600 は以下の病気に罹患しています:

$$P(\text{doença}) = \frac{600}{24\thinspace 000} = \frac{1}{40} = 0{,}025$$

応答 (a): 0,025 (2,5%)。

b) 「あなたが病気を発症したことを考慮すると」宇宙は 600 人の病気の人に限定されます。 そのうち 500 が暴露されました:

$$P(\text{exposto} \mid \text{doença}) = \frac{500}{600} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833$$

答え (b): $\frac{5}{6} \approx 0{,}833$ (約 83,3%)。

c) 1。暴露された人々（800 人）のうち、500 が病気になりました。

$$P(\text{doença} \mid \text{exposto}) = \frac{500}{800} = 0{,}625$$

2。非曝露(23 200 人) のうち、100 が病気になりました。

$$P(\text{doença} \mid \text{não exposto}) = \frac{100}{23\thinspace 200} = \frac{1}{232}$$

3。相対リスク:

$$RR = \frac{500/800}{100/23\thinspace 200} = \frac{500}{800} \cdot \frac{23\thinspace 200}{100} = 0{,}625 \cdot 232 = 145$$

答え (c): $RR = 145$: 暴露された人は、病気を発症するリスクが 145 倍高くなります。

注意: (b) の状態は「病気を発症した」ため、分母は 800 (曝露された患者の総数) ではなく、600 (患者の総数)。 2 つを交換すると、 $500/800 = 0{,}625$は、項目(b)の確率ではなく、項目(c)で使用される確率です。

復習するには、確率の概要.

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問題 M03: 数表内の四角形

声明

生徒たちを励ました教師からの活動提案を受けて 数表を使って数学的思考を探求するクラス 調査活動を行ったところ、クラスの人々はいくつかの興味深いパターンに気づきました。

10列の自然数を並べた表を考えます。 1行目から順に。この表で、教師は次のことを強調しました。 図に示すように、長方形:

次に、長方形の要素の合計を $S$ として定義し、係数を $D$ として定義しました。 対角要素の積の差の。強調表示された四角形については、次のようになります。

$$S = 6 + 7 + 16 + 17 = 46.$$$$D = |7 \times 16 - 6 \times 17| = |112 - 102| = 10.$$

この四角形を移動すると 1列右へ、$S = 50$ になります。 移動されます 1行下, $S = 86$ になります。

提示された情報に基づいて、次のように答えてください。

a) テーブルの強調表示された四角形が $n$ 行下に移動すると、 $S$の値は?

b) テーブルの強調表示された四角形が $n$ 行下に移動すると、 $D$の値は?

c) ここで、テーブルが $n$ 列で構築され、$n \ge 2$ であると考えてみましょう。それは何ですか 最小要素が$k$である四角形の$D$の値は$k \ne pn$($p \in \mathbb{N}$)?

解決

a) 10 列の表の行を下に進むと、各数値に 10 が追加されます。降順 $n$ 行、4 の各四角形の番号が $10n$ に増加します。

$$S = (6 + 10n) + (7 + 10n) + (16 + 10n) + (17 + 10n) = 46 + 40n$$

ステートメントで確認します: for $n = 1$, $S = 86$ ✔。

応答 (a): $S = 46 + 40n$。

b) 要素は $6 + 10n$、$7 + 10n$、$16 + 10n$、$17 + 10n$ になります。電話をかける $m = 10n$:

$$(7 + m)(16 + m) - (6 + m)(17 + m) = (112 + 23m + m^2) - (102 + 23m + m^2) = 10$$

$m$ を含む項は互いに打ち消し合います。

答え (b): $D = 10$、任意の $n$。

数値チェック: $n = 2$ の場合、四角形は 26、27、36、37、および $|27 \cdot 36 - 26 \cdot 37| = |972 - 962| = 10$ ✔。

c) 1。長方形 $n$ 列の場合、$x$ のすぐ下の番号は $x + n$ です。もし 最小の要素は $k$、長方形は
$k$ $k + 1$
$k + n$ $k + n + 1$

条件 $k \ne pn$ は、$k$ が最後の列にないことを保証するため、$k + 1$ は $k$ のすぐ隣 (同じ行)。

2。対角線の積の差です。

$$(k + 1)(k + n) - k(k + n + 1) = (k^2 + kn + k + n) - (k^2 + kn + k) = n$$

答え(c): $D = n$ (列数)。

会議: $n = 10$ と $k = 6$ を使用すると、式は $D = 10$、ステートメントの値 ✔ を与えます。

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質問 M04: 価格システムでの資金調達

声明

フランス償却システムとしても知られる価格システムは、モデルです。 携帯電話や自動車などの金融に広く使用されています。メイン この制度の特徴は、支払額が期間中固定であることです。 資金調達、つまり定期的に支払われる金額は最初から最後まで同じです。 価格システムの資金調達部分は、償却と償却の 2 つの部分で構成されます。 興味。この制度では、時間の経過とともに利息として支払われる金額が減っていきます。 償却として支払われる金額が増加しても、その総額は維持されます。 数学モデルによると、定数部分は次のようになります。

$$V = \frac{P}{(1+j)} + \frac{P}{(1+j)^2} + \frac{P}{(1+j)^3} + \cdots + \frac{P}{(1+j)^n} = \frac{P}{(1+j)}\left[1 + \frac{1}{(1+j)} + \frac{1}{(1+j)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+j)^{n-1}}\right]$$

ここで、$V$ は融資総額に対応し、$j$ は金利を表します 毎月請求されます。$n$ は支払う月々の分割払い回数、$P$ は支払額です。 それぞれの分割払い。

$n$ の値は融資分割数であるため、整数になります。 ただし、このような問題を数学的にモデル化すると、そうでない値に遭遇する可能性があります。 整数。たとえば、モデル化された値であっても、 数学的には $n$ が整数ではないため、標準の答えとして $n$ が次のように表示されます。 最小の整数は数学モデルで得られた値より大きい。たとえば、 R$19.000,00 の融資額を考慮し、金利が適用されます。 R$500,00 の固定分割払いで、月あたり 1% の計算がソリューションとして表示されます。 $n = 49$。

a) 利息がないと仮定すると、つまり月利が 0% であると仮定すると、何年になりますか R$500,00 の分割払い R$19.000,00 の融資は完済できますか?

b) 月々の金利 1%、R$500,00 および $n = 49$ の固定分割払いを考慮すると、 提示された数学モデルを使用して得られる融資金額 $V$ を計算します。

c) 提示された数学モデルでは $n$ が整数である必要はないと仮定すると、次のようになります。 $n$ の融資額 R$19.000,00 は、固定分割払いで支払われます。 R$500,00 を月利 1% で受け取ります。

次の点に注意して採用してください。

  • 項目 (b) では、必要に応じて次を使用します: $(1{,}01)^{-48} = 0{,}620260$; $(1{,}01)^{-49} = 0{,}614119$; $(1{,}01)^{-50} = 0{,}608039$。
  • 項目 (c) では、答えを対数関数として表すことができます。

解決

a) $j = 0$ の場合、すべての分母は 1 の価値があり、モデルは $V = P + P + \cdots + P = nP$ になります。

$$19\thinspace 000 = 500n \quad\Rightarrow\quad n = 38$$

答え (a): 38 回の分割払い。

b) 1。閉じた式。 括弧内には $n$ 項の GP があり、最初に 項1と比$q = \frac{1}{1+j}$。合計は$\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$です。どうやって $1 - q = \dfrac{j}{1+j}$となります。

$$V = \frac{P}{1+j} \cdot \frac{1 - (1+j)^{-n}}{\frac{j}{1+j}} = \frac{P}{j}\left[1 - (1+j)^{-n}\right]$$

2。 $P = 500$、$j = 0{,}01$、$n = 49$ を $(1{,}01)^{-49} = 0{,}614119$ に置き換えます。

$$V = \frac{500}{0{,}01}\left(1 - 0{,}614119\right) = 50\thinspace 000 \cdot 0{,}385881 = 19\thinspace 294{,}05$$

応答 (b): $V \approx$ R$ 19.294,05。

(当然のことですが、49 の分割払いでは R$ 19.000,00 よりも少し多く 資金を調達できます。 48 の分割払いでは、$50\thinspace 000 \cdot (1 - 0{,}620260) = 18\thinspace 987$ と少し少なくなります。 したがって、電卓は $n = 49$ と応答します。)

c) $V = 19\thinspace 000$ で同じ式を使用します。

$$19\thinspace 000 = 50\thinspace 000\left[1 - (1{,}01)^{-n}\right] \quad\Rightarrow\quad 1 - (1{,}01)^{-n} = 0{,}38 \quad\Rightarrow\quad (1{,}01)^{-n} = 0{,}62$$

対数を底 1,01 に適用する:

$$-n = \log_{1{,}01} 0{,}62 \quad\Rightarrow\quad n = -\log_{1{,}01} 0{,}62 = \frac{\log 0{,}62}{\log(1{,}01)^{-1}}$$

応答 (c): $n = -\log_{1{,}01} 0{,}62 \approx 48{,}04$。

会議: $n \approx 48{,}04$ は 48 と 49 の間にあり、項目 (b) および 電卓から $n = 49$ と答えます (48,04 より大きい最小の整数)。

確認するには、[複利とオイラー数](https://www.eulereyes.com/jp/posts/basic/irracional/finance/numeroe/） と 対数の性質.

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質問 M05: 2 乗による商

声明

$n, b \in \mathbb{N}^*$ に対する商 $(k_n) = \dfrac{n}{2^b}$ を考えてみましょう。

a) $b = 3$ の場合、$(k_n)$ が数列を形成します。形成された進行状況が次のとおりであるかどうかを示します。 算術または幾何学的な比率の値を提供します。

b) $n$が偶数、$b \le 3$の場合、$k_n$の小数点以下の最大桁数は何桁ですか?

c) $k_1 + k_2 + \cdots + k_n$ が整数となる、$b$ に関して最小の $n$ は何ですか?

解決

a) $b = 3$、$k_n = \dfrac{n}{8}$ の場合:

$$(k_n) = \left(\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \ldots\right)$$

連続する用語間の差は常に $\frac{n+1}{8} - \frac{n}{8} = \frac{1}{8}$ です。 (PG:$\frac{2/8}{1/8} = 2$ではなく、$\frac{3/8}{2/8} = 1{,}5$です。)

答え (a): 比 $\frac{1}{8}$ の****等差数列です。

b) $n$ のペアを $n = 2a$ として、$a \in \mathbb{N}^*$ と書き込みます。

  • $b = 1$: $k_n = \dfrac{2a}{2} = a$、整数: 小数点以下なし。
  • $b = 2$: $k_n = \dfrac{2a}{4} = \dfrac{a}{2}$: 整数または で終わる数値、5: 最大1 位。
  • $b = 3$: $k_n = \dfrac{2a}{8} = \dfrac{a}{4}$: 4 で割ったときの余り 末尾 ,00、 、25、 、5 または ,75: 最大 2 桁 (たとえば、$n = 2$ は $k_2 = 0{,}25$ になります)。

答え (b): 小数点以下 2 桁。

c) 1。合計。 $n$ の最初の自然数の合計によって:

$$k_1 + k_2 + \cdots + k_n = \frac{1 + 2 + \cdots + n}{2^b} = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{2^b} = \frac{n(n+1)}{2^{b+1}}$$

2。整数の場合 $n(n+1)$ を割るには $2^{b+1}$ が必要です。 $n$ や $n+1$ のように は連続していますが、そのうちの 1 つは奇数で因数がありません 2。次にすべての要素 $2^{b+1}$ は偶数でなければならず、$2^{b+1}$ の倍数でなければなりません。

3。最小の $n$。 $2^{b+1}$ の最小の正の倍数は $2^{b+1}$ 自体です。 $n$ または $n + 1$ にすることができます。最小の $n$ は $n + 1 = 2^{b+1}$ から得られます。

$$n = 2^{b+1} - 1$$

応答 (c): $n = 2^{b+1} - 1$。

会議: $b = 1$ の場合、数式は $n = 3$: $\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 3$ となります。 (整数)、$n = 1$ と $n = 2$ は $0{,}5$ と $1{,}5$ になります。 $b = 2$ の場合、$n = 7$ が与えられます。 $\frac{7 \cdot 8}{8} = 7$、1から6までの$n$はどれも動作しません(数値的に確認)。

確認するには、等差数列.

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質問 M06: 彫刻の幾何学

声明

一辺が 10 m の正方形の切り抜きから、あるプラスチックアーティストが作成した 金属加工を図 1 に示し、その計画を図 2 に示します。

図 1 と 2 を観察して答えてください。

a) 彫刻の外部の影の面積の測定が次のように表されると仮定すると、 三角形 DMC は、三角形 DAC の面積の 2 倍になります。 図1に示される角度α?

b) DMC 三角形の面積の測定値が、DMC の三角形の面積の測定値の $k$ 倍であると仮定します。 三角形 DAC では、$k$ の値を α の関数として決定します。

c) 角度が 地面に対するこのセグメントの角度は 60°ですか?

次の点に注意して採用してください。

  • $\text{sen}(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
  • $\cos(60°) = \frac{1}{2}$

解決

平面図を読みます (図 2)。 正方形の一辺は 10 m です。 D と C は 2 つの頂点です 同じ側で、次に $DC = 10$ m。点A は正方形（の会合） の中心です。 対角線 (垂直)、B が DC の反対側の中点である場合、 $AB = 5$m。

三角形 DAC の面積。 対角線は正方形を 4 個の等しい三角形に分割します。

$$\text{Área}(DAC) = \frac{10^2}{4} = 25 \text{ m}^2$$

(または: 底辺 $DC = 10$ と A から DC までの距離に等しい高さ、つまり 5: $\frac{10 \cdot 5}{2} = 25$)。

DMC 三角形 (図 1)。 地面の上にあり、D に直角を持ち、脚が付いています。 $MD$と$DC = 10$。ロゴ

$$\text{Área}(DMC) = \frac{MD \cdot 10}{2} = 5 \cdot MD \qquad \text{e} \qquad \tan\alpha = \frac{MD}{DC} = \frac{MD}{10}$$

a) DMC エリアは 25 の 2 倍、つまり 50 です。

$$5 \cdot MD = 50 \quad\Rightarrow\quad MD = 10$$$$\tan\alpha = \frac{10}{10} = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 45°$$

(DMC 三角形は、脚が 10 に等しい二等辺長方形です。)

答え (a): α = 45°。

b) 次に $5 \cdot MD = 25k$、次に $MD = 5k$。したがって、

$$\tan\alpha = \frac{5k}{10} = \frac{k}{2} \quad\Rightarrow\quad k = 2\tan\alpha$$

応答 (b): $k = 2\tan\alpha$。

会議: $\alpha = 45°$、$k = 2 \cdot 1 = 2$、項目 (a) の 2 倍 ✔。

c) 線分 AB の寸法は 5 m、地面との角度は 60°です。正射影$p$は ABが作る直角三角形の60°の角に隣接する辺、その投影図 そして垂直方向：

$$p = AB \cdot \cos 60° = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2{,}5 \text{ m}$$

応答 (c): 2,5 ｍ．

注意: 項目 (c) で sine を使用すると、$5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33$ m が得られます。これは、 投影ではなく、AB の最低点に対する最高点の高さ 地上で。

確認するには、直角三角形.

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