Euler's Eyes
2026-10-14
ラグランジュの遺産
ラグランジュは数学の諸科学にそびえる高いピラミッドである。
— ナポレオン・ボナパルト、同時代人の伝えるところによる
ラグランジュは、パスカルのような早熟の天才の逸話も、オイラーほどの量の著作も残しませんでした。彼が残したのは別のもの、数学をするやり方です。ほかの人が図を描くところで、彼は計算しました。ほかの人が問題ごとに技法を見つけるところで、彼はすべての技法を説明する規則を探しました。彼のしたことのほとんどは、今も彼の名とともに教科書にのっています。オイラー＝ラグランジュ方程式、ラグランジアン、ラグランジュ点、ラグランジュの定理、ラグランジュの剰余項、ラグランジュの乗数。
ニュートンについて
ラグランジュはだれよりもニュートンを尊敬していましたが、そこには隠そうとしない少しのうらやましさもまじっていました。伝記作者ドランブルは、彼がよく口にしていたことばを書きとめています。
ニュートンはかつて存在したもっとも偉大な天才であり、またもっとも幸運な人でもあった。世界の体系を打ち立てられるのは、ただ一度きりなのだから。
— ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、ドランブルによる（1814）
メートルと 10 進法
1790 年からメートル法をつくった委員会で、ラグランジュはあらゆる単位の10 進の分割を支持し、約数の多い 12 進法を好む人びとに反対しました。12 の約数の多さはそれほど大事ではないことを示そうとして、なかば冗談に、素数である 11 を底にすることまで提案したといわれています。すべて 10 ずつに分けられるメートル、リットル、グラムには、彼の仕事も少しふくまれているのです。
点を通る多項式
1795 年、パリの高等師範学校の講義で、ラグランジュは与えられた点を通る多項式を求める公式を示しました。三点 $(x_0,y_0)$、$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ に対しては、
$$\begin{aligned}P(x)={}&y_0\,\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\&+y_1\,\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\&+y_2\,\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.\end{aligned}$$考えはかんたんです。それぞれの分数は自分の点では $1$、ほかの二点では $0$ になるので、$P(x_0)=y_0$、$P(x_1)=y_1$、$P(x_2)=y_2$ となります。イギリスのエドワード・ウェアリングが 1779 年にすでに同じ公式を発表しており、オイラーも知っていましたが、名前はラグランジュ補間として残りました。今日では電卓やコンピュータの数値計算法のなかに、さらには秘密を何人かに分けて預ける暗号の方法のなかにもあります。
残ったもの
- 物理学。 『解析力学』は力学を解析学の一分野にしました。相対性理論、量子力学、標準模型は、今もラグランジアン $L=T-V$ の形で書かれています。
- 変分法。 オイラーとともに、ラグランジュは最良の曲線を選ぶ数学をつくりました。光学からロケットの制御まで使われています。
- 天文学。 ラグランジュ点には宇宙望遠鏡がおかれ、何千ものトロヤ群小惑星がすみついています。
- 数論。 四平方定理は、ウェアリングの問題と、ルジャンドルやガウスが引きついだ二次形式の研究への道を開きました。
- 代数学。 根の置換についての考察は、ルフィニ、アーベル、ガロアの仕事と群論を準備しました。
- 解析学。 記号 $f'(x)$、導関数ということば、平均値の定理、ラグランジュの剰余項は、どの微積分の授業にも出てきます。
あちこちに残る名前
ラグランジュはパリのパンテオンに葬られており、その名はエッフェル塔に刻まれた 72 人の名の一つです。トリノには彼の名のついた広場と通りと像があり、イタリアとフランスは、彼がイタリアの数学者なのかフランスの数学者なのか、今も言い合っています。月にはラグランジュというクレーターがあります。彼が 28 歳のときにその秤動を説明した、あの月です。そして 1006 Lagrangea という小惑星もあります。
おぼえておきたいこと
- ラグランジュは 1736 年から 1813 年まで、トリノ、ベルリン、パリで生きた。19 歳で教授になり、1766 年にベルリンでオイラーの後を継いだ。
- 変分法は、積分を最小にする曲線を探す。答えはオイラー＝ラグランジュ方程式を満たす。
- ラグランジュの力学では、すべてが関数 $L=T-V$ から出てくる。図も束縛の力もいらない。
- 五つのラグランジュ点は、小さな天体が二つの大きな天体といっしょに回れる場所。太陽–地球系の L2 は地球から 150 万 km。
- すべての正の整数は四つの平方数の和である。
- $n$ 文字の式の文字を並べかえたときにとる値の個数は、$n!$ をわり切る。
- $f'(x)$ はラグランジュの記号。平均値の定理は、接線が割線と平行になる点の存在を保証する。
- 制約つきで最適化するには、$f$ の導関数を $g$ の導関数の $\lambda$ 倍に等しくおく。$\lambda$ は制約をゆるめる価値をはかる。
練習問題：(0, 1)、(1, 3)、(2, 7) を通る多項式を求めよ
ラグランジュの公式から、
$$\begin{aligned}P(x)={}&1\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{2}+3\cdot\frac{x(x-2)}{-1}\\&+7\cdot\frac{x(x-1)}{2}.\end{aligned}$$展開すると $\frac{x^2-3x+2}{2}-3x^2+6x+\frac{7x^2-7x}{2}=x^2+x+1$。確かめ：$P(0)=1$、$P(1)=3$、$P(2)=7$。
練習問題：四つの根を並べかえるとき、x₁x₂x₃ はいくつの値をとるか？
四つの根のうち三つの積は、外された根で決まるので、値は $4$ 個です。$x_1x_2x_3$、$x_1x_2x_4$、$x_1x_3x_4$、$x_2x_3x_4$。ラグランジュの定理のとおり 4 は 24 をわり切り、この式を変えない入れかえは $24\div4=6$ 個、つまり $x_1, x_2, x_3$ だけを並べかえるものすべてです。
出典： ラグランジュの伝記、MacTutor · Jean-Baptiste Delambre, Notice sur la vie et les ouvrages de M. le comte J.-L. Lagrange（1814）· Ken Alder, The Measure of All Things（2002）。