Euler's Eyes
2026-10-11
フェルマーの原理：光はもっとも速い道を選ぶ
砂浜にいるライフガードが、少し沖の、横にずれたところで誰かがおぼれているのを見つけました。どの道を行くべきでしょうか？ 直線はいちばん短い道ですが、いちばん速い道ではありません。砂の上を走るほうが、水の中を泳ぐよりずっと速いからです。少し余分に砂浜を走って、泳ぐ距離を減らすほうが得なのです。
フェルマーは、光がまさにこの選択をしていることに気づきました。
反射：最短の道
いちばん古い考えは鏡についてのものです。1 世紀、アレクサンドリアのヘロンはすでに、光は反射するとき、鏡を経由して二点を結ぶ最短の道を通ることに気づいていました。
導関数で確かめてみましょう。光源 $S$ は鏡から高さ $a$、目 $T$ は高さ $b$ のところにあり、二つの水平距離は $\ell$ です。光は鏡の点 $M$ に当たり、$M$ は $S$ の真下から距離 $x$ のところにあります。
道 $S\to M\to T$ の長さは
$$P(x)=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}.$$最小のところでは、導関数がゼロになります。
$$P'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}=0.$$それぞれの分数は角の正弦です。$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ は鏡の法線から測った入射角 $\hat i$ の正弦、$\dfrac{\ell-x}{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}$ は反射角 $\hat r$ の正弦です。したがって
$$\sin\hat i=\sin\hat r\qquad\Longrightarrow\qquad\hat i=\hat r.$$これが反射の法則、入射角は反射角に等しいです。
屈折：最短の時間
反射では光は同じ媒質の中にとどまるので、最短の道がもっとも速い道でもあります。しかし光が空気から水に入ると、向きを変えます。折れ曲がった道は直線より長い。なぜ光はそんなことをするのでしょう？
1662 年、フェルマーは答えを出しました。光が通るのは最短の道ではなく、もっとも速い道だ。水の中では遅くなるなら、空気中で少し余分に進むほうが得になる。砂浜のライフガードと同じです。
一つ目の媒質での光の速さを $v_1$、二つ目での速さを $v_2$ とします。距離は先ほどと同じで、今度は点 $T$ が境界面の下にあるとすると、全体の時間は
$$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}{v_2}.$$微分してゼロとおくと、
$$\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{\ell-x}{v_2\sqrt{(\ell-x)^2+b^2}}.$$法線との角の正弦だと気づけば、
$$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\qquad\text{つまり}\qquad\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}.$$これが高校で習う屈折の法則、スネルの法則です。光が二つ目の媒質で遅くなる（$v_2 フェルマーの原理は、自然は何かを最適化している、と述べることで物理現象を説明した最初の例でした。この考えは大成功を収めました。18 世紀には、モーペルテュイ、オイラー、ラグランジュが、力学全体に成り立つ最小作用の原理を作りました。今日、こうした原理は相対性理論から量子力学まで、現代物理学の中心にあります。 一つ技術的な補足を。ある種の曲面鏡など、場合によっては、光は最短ではなく、時間が最大の道、あるいは時間が「停留」する道を通ります。そのため今日の物理学では、光の進む時間は停留的だといいます。フェルマー自身の極大・極小の方法と同じように、導関数がゼロになるのです。 変えません。$v_1=v_2$ なら $\sin\theta_1=\sin\theta_2$ で $\theta_1=\theta_2$。光線はまっすぐ進みます。 $\sin\theta_2=\sin\theta_1\cdot\dfrac{v_2}{v_1}=0.5\cdot\dfrac34=0.375$、$\theta_2\approx22°$。光線は法線のほうに曲がります。 資料： フェルマーの伝記、MacTutor。 フェルマーの全トピック · ← フェルマーとパスカル：中断した勝負の公平な分配 · 無限降下法：より小さな解が矛盾を導く →遠くまで届いた原理
練習：二つの媒質で速さが同じなら、光線は向きを変えるか？
練習：光が空気から水に入り、水中では速さが 3/4 になる。θ₁ = 30° のとき、sin θ₂ はいくつか？