Euler's Eyes
2026-10-11
重心 — 中央値
三角形の 3 つの中線は、点 重心 で交わります。ここでは、三角形のプレートが指先でバランスが取れています。
発見者
シラクサのアルキメデス (紀元前 287 ～ 212 頃) は 重心 に関連付けられた名前です。彼は平面のつり合いについてで、 三角形の重心は、頂点と反対側の中点を結ぶ直線、つまり中線上にあり、したがって 3 つの中線が交わる位置にあることを証明しました。 重心という言葉はもっと新しいもので、「重い」を意味するギリシャ語のバリスに由来しており、19 世紀にドイツのアウグスト メビウスが本の重心微積分の中で使用しました。 (1827)。
歴史
アルキメデスの推論は幾何学と物理学を組み合わせたものです。彼は、三角形が一辺に平行に非常に薄いストリップに切断されることを想像します。各範囲の中心はその中間点にあり、これらの中間点はすべて中央値上にあります。次に、三角形全体がその上でバランスをとります。別の中央値について議論を繰り返すと、平衡点は 2 つの中央値の交点になる必要があります。
このトピックで示した各中央値の比率 2 : 1 への分割は、同じ平衡点の別の結果です。彼のものとされるフレーズ「支援点を与えてください。そうすれば世界を動かします」はレバーについて語っていますが、バランスの問題を幾何学に変換するという同じ興味を示しています。
日常生活での応用
- 指上のバランス 均一な厚さの三角形のボール紙板を 重心 の上に正確に置くとバランスがとれます。
- モビール。 アレクサンダー カルダーのようなアーティストは、それぞれの作品を重心から吊り下げ、希望の位置に留まるようにしました。
- 自動車とトラック。 エンジニアは車両の重心を計算します。低いほど転倒の危険が低くなります。
- トレイを運ぶ 三角形のトレイをいっぱい運ぶ人は、物を落とさないように中央付近に手を置きます。
出典: アルキメデス (MacTutor) · メビウス (MacTutor)。
理論と作図
定理中央値との競合
三角形の 3 つの中央線は同じ点で交差し、 各中央線は頂点を含む部分のサイズが他の部分の 2 倍になるように 2 つの部分に分割されます。
$$\overline{AM_1} \cap \overline{BM_2} \cap \overline{CM_3} = \lbrace G \rbrace, \qquad AG = 2 \cdot GM_1,\quad BG = 2 \cdot GM_2,\quad CG = 2 \cdot GM_3.$$デモ
- $X$ を中央値 $\overline{BM_2}$ と $\overline{CM_3}$ の交わる点とし、$D$、$E$ を $\overline{BX}$ と $\overline{CX}$ の中点とします。
- $\triangle ABC$ において、$\overline{M_3M_2}$ は平均ベース: $\overline{M_3M_2} \parallel \overline{BC}$ と $M_3M_2 = \dfrac{BC}{2}$ です。
- $\triangle XBC$ において、$\overline{DE}$ は平均ベース: $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ と $DE = \dfrac{BC}{2}$ です。
- したがって、$\overline{M_3M_2}$ と $\overline{DE}$ は平行かつ合同です。$M_3M_2ED$ は平行四辺形で、その対角線は半分にカットされています: $DX = XM_2$ と $EX = XM_3$。
- 次に$BX = BD + DX = 2 \cdot XM_2$と$CX = 2 \cdot XM_3$。
- 中央値 $\overline{AM_1}$ と $\overline{CM_3}$ を繰り返して、$CY = 2 \cdot YM_3$ を持つ点 $Y$ を取得します。 $X$ と $Y$ は $\overline{CM_3}$ を同じ比率で分割するため、 $X = Y = G$: 3 つの中央値は $G$ を通過します。
定義重心
3 つの中央線の交わる点は、三角形の重心$G$です。頂点を起点として各中央値から$\dfrac{2}{3}$、$GM_1 = \dfrac{1}{3}AM_1$、$GM_2 = \dfrac{1}{3}BM_2$、$GM_3 = \dfrac{1}{3}CM_3$となります。 重心 は三角形の重心です。