Euler's Eyes
2026-10-24
第 VII 章の演習 — 方程式
各方程式について、まず次のことを考えてください。それはどのような基本方程式に帰着しますか?解の族を書いた後、元の方程式の分母を相殺するものがないことを確認してください。
方程式 sin α = sin β
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$; c) $\operatorname{sen} x = 0$; d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$; e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$。
解像度を参照してください
a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$、次に $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ または $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$。 $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$.
e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$、次に $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。
f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$.
g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$ (2 つのファミリーは一致します)。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。
h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen}^2 x = \dfrac{1}{4}$; b) $\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x = 0$; c) $2\operatorname{sen}^2 x - 3\operatorname{sen} x + 1 = 0$; d) $2\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen} x$。
解像度を参照してください
a) $\operatorname{sen} x = \pm\dfrac{1}{2}$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 1) = 0 \Rightarrow \operatorname{sen} x = 0$ または $\operatorname{sen} x = 1$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{sen} x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \dfrac{3 \pm 1}{4} \Rightarrow \operatorname{sen} x = 1$ または $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$。
d) $2(1 - \operatorname{sen}^2 x) = 1 - \operatorname{sen} x \Rightarrow 2\operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x - 1 = 0 \Rightarrow \operatorname{sen} x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \dfrac{1 \pm 3}{4} = 1$ または $-\dfrac{1}{2}$。基本方程式に頼ります: $\operatorname{sen} x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$; $\;\operatorname{sen} x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$または$x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$。
$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi\right\}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{7}$; b) $\operatorname{cossec} x = 2$; c) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; d) $2\operatorname{sen}^2 x = 1$; e) $\operatorname{sen}^2 x = 1$; f) $2\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen} x - 1 = 0$; g) $2\operatorname{sen} x - \operatorname{cossec} x = 1$; h) $3\operatorname{tg} x = 2\cos x$; i) $\operatorname{sen} x + \cos 2x = 1$; j) $\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen} x$。
解答を見る
全部で$k \in \mathbb{Z}$。 a) $x = \dfrac{\pi}{7} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{6\pi}{7} + 2k\pi$ · b) $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ · c) $x = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$ または $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · d) $x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$、$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ · e) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$ · f) $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$、$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ ・ g) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$、$x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$ または $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ ・ h) $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ ・ i) $x = k\pi$、$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ ・ j) $x = k\pi$ または $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
(FEFAAP-77) 式$4\operatorname{sen}^4 x - 11\operatorname{sen}^2 x + 6 = 0$を満たす$x$の値を求めます。
解答を見る
$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi\right\}$
(FEI-76) 方程式 $2\operatorname{sen} x\,|\operatorname{sen} x| + 3\operatorname{sen} x = 2$ を解きます。
解答を見る
$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} 2x = \dfrac{1}{2}$; b) $\operatorname{sen} 3x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$; c) $\operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; d) $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x$。
解像度を参照してください
a) $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $2x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{sen} 3x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ または $3x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$。
c) $\operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ または $x - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \pi + 2k\pi\right\}$。
d) $\operatorname{sen} 2x = \operatorname{sen} x \Rightarrow 2x = x + 2k\pi$ または $2x = \pi - x + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$。
次のように $x \in \mathbb{R}$ を決定します。 a) $\operatorname{sen} 5x = \operatorname{sen} 3x$; b) $\operatorname{sen} 3x = \operatorname{sen} 2x$。
解答を見る
a) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{4}\right\}$ · b) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{2k\pi}{5}\right\}$
三角形の内角 $ABC$ が等差数列にあり、最小角度と平均角度の合計の正弦が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であることを知って、その内角を求めます。
解答を見る
$A = B = C = \dfrac{\pi}{3}$ (三角形は等辺)
(MAPOFEI-76) システムを解決 $\begin{cases} \operatorname{sen}(x + y) = 0 \\ x - y = \pi \end{cases}$
解答を見る
$x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{k\pi}{2}$, $y = -\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$)
方程式 cos α = cos β
方程式を解きます。 a) $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{5}$; b) $\sec x = \sec\dfrac{2\pi}{3}$; c) $\cos x = 0$; d) $\cos x = 1$; e) $\cos x = -1$; f) $\cos x = \dfrac{1}{2}$; g) $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$; h) $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
解像度を参照してください
a) $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{5} + 2k\pi\right\}$.
b) $\dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{1}{\cos\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \cos x = \cos\dfrac{2\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$.
c) $\cos x = 0 = \cos\dfrac{\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\} = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$.
d) $\cos x = 1 = \cos 0$. $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = 2k\pi\}$. $\qquad$ e) $\cos x = -1 = \cos\pi$. $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = \pi + 2k\pi\}$.
f) $\cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. $\qquad$ g) $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{4}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$.
h) $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{5\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$.
方程式を解きます。 a) $4\cos^2 x = 3$; b) $\cos^2 x + \cos x = 0$; c) $\operatorname{sen}^2 x = 1 + \cos x$; d) $\cos 2x + 3\cos x + 2 = 0$。
解像度を参照してください
a) $\cos^2 x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ または $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$。
b) $\cos x(\cos x + 1) = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ または $\cos x = -1$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \text{ ou } x = \pi + 2k\pi\right\}$。
c) $1 - \cos^2 x = 1 + \cos x \Rightarrow \cos^2 x + \cos x = 0$ となり、前の項目に戻ります。
d) $(2\cos^2 x - 1) + 3\cos x + 2 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \dfrac{-3 \pm 1}{4}$、つまり $\cos x = -1$ または $\cos x = -\dfrac{1}{2}$。次に$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pi + 2k\pi \text{ ou } x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。
方程式を解きます。 a) $\cos x = -\dfrac{1}{2}$; b) $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; c) $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; d) $\sec x = 2$; e) $2\cos^2 x = \cos x$; f) $4\cos x + 3\sec x = 8$; g) $2 - 2\cos x = \operatorname{sen} x \operatorname{tg} x$; h) $2\operatorname{sen}^2 x + 6\cos x = 5 + \cos 2x$; i) $1 + 3\operatorname{tg}^2 x = 5\sec x$; j) $\left(4 - \dfrac{3}{\operatorname{sen}^2 x}\right)\left(4 - \dfrac{1}{\cos^2 x}\right) = 0$。
解答を見る
a) $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ · b) $x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ · c) $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ · d) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · e) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ · f) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · g) $x = 2k\pi$ · h) $x = 2k\pi$ または $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · i) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ · j) $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ または$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$
方程式を解きます。 a) $\cos 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\cos 2x = \cos x$; c) $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 0$; d) $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$。
解像度を参照してください
a) $\cos 2x = \cos\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow 2x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{12} + k\pi\right\}$。
b) $\cos 2x = \cos x \Rightarrow 2x = x + 2k\pi$ または $2x = -x + 2k\pi$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$ (最初のファミリーは 2 番目のファミリーに含まれます)。
c) $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 = \cos\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow x + \dfrac{\pi}{6} = \pm\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。
d) $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1 = \cos 0 \Rightarrow x - \dfrac{\pi}{4} = 2k\pi$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。
方程式を解きます。 a) $\cos 3x - \cos x = 0$; b) $\cos 5x = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$。
解答を見る
a) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{k\pi}{2}\right\}$ · b) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2} \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{18} + \dfrac{k\pi}{3}\right\}$
$\cos(A + B) = \dfrac{1}{2}$ と $\operatorname{sen}(B + C) = \dfrac{1}{2}$ を知って、三角形 $ABC$ の内角を求めます。
解答を見る
$A = \dfrac{\pi}{6}$, $B = \dfrac{\pi}{6}$, $C = \dfrac{2\pi}{3}$
(MAUÁ-77) 方程式 $(\operatorname{sen} x + \cos y)(\sec x + \operatorname{cossec} y) = 4$ が与えられた場合: a) $x = y$ かどうかを解きます。 b) $\operatorname{sen} x = \cos y$ の場合は解決します。
解答を見る
a) $x = y = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ · b) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ e $y + x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
方程式 tg α = tg β
方程式を解きます。 a) $\operatorname{tg} x = 1$; b) $\operatorname{cotg} x = \sqrt{3}$; c) $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$; d) $\operatorname{tg} x = 0$; e) $\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3}$; f) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} x$; g) $\operatorname{tg} 3x = 1$; h) $\operatorname{tg} 5x = \operatorname{tg} 3x$。
解像度を参照してください
a) $\operatorname{tg} x = 1 = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$。
b) $\operatorname{cotg} x = \sqrt{3} \Rightarrow \operatorname{tg} x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3} = \operatorname{tg}\dfrac{2\pi}{3}$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\right\}$。
d) $\operatorname{tg} x = 0 = \operatorname{tg} 0$、次に $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
e) $\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3} = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}\right\}$。
f) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} x \Rightarrow 2x = x + k\pi$、次に $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
g) $\operatorname{tg} 3x = 1 = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow 3x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$、次に $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{3}\right\}$。
h) $\operatorname{tg} 5x = \operatorname{tg} 3x \Rightarrow 5x = 3x + k\pi \Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{2}$。 $k$ が奇数の場合、$\operatorname{tg} 5x$ と $\operatorname{tg} 3x$ は存在しません。したがって、$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{k\pi}{2},\ k \text{ par}\right\} = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x - \sqrt{3}\cos x = 0$; b) $\operatorname{sen}^2 x = \cos^2 x$; c) $\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = 2$; d) $\sec^2 x = 1 + \operatorname{tg} x$。
解像度を参照してください
a) $\operatorname{sen} x = \sqrt{3}\cos x \Rightarrow \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \sqrt{3} \Rightarrow \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ ($\cos x = 0$ は $\operatorname{sen} x = 0$ になるため役に立ちません)。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\right\}$。
b) $\dfrac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} = 1 \Rightarrow \operatorname{tg}^2 x = 1$、次に $\operatorname{tg} x = 1$ または $\operatorname{tg} x = -1$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi\right\}$。
c) $\operatorname{tg} x + \dfrac{1}{\operatorname{tg} x} = 2 \Rightarrow \operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x + 1 = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = 1$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$.
d) $1 + \operatorname{tg}^2 x = 1 + \operatorname{tg} x \Rightarrow \operatorname{tg} x(\operatorname{tg} x - 1) = 0$、次に $\operatorname{tg} x = 0$ または $\operatorname{tg} x = 1$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$。
方程式を解きます。 a) $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{5}$; b) $\operatorname{cotg} x = \operatorname{cotg}\dfrac{5\pi}{6}$; c) $3\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$; d) $\operatorname{cotg} x = 0$; e) $\operatorname{cotg} x = -1$; f) $\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} 2x = 0$; g) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$; h) $\operatorname{tg} 4x = 1$; i) $\operatorname{cotg} 2x = \operatorname{cotg}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$; j) $\operatorname{tg}^2 2x = 3$。
解答を見る
a) $x = \dfrac{\pi}{5} + k\pi$ ・ b) $x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi$ ・ c) $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ・ d) $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ・ e) $x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$ ・ f) $x = k\pi$ ・ g) $S = \varnothing$ ・ h) $x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{4}$ ・ i) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ・ j) $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$ または $x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k\pi}{2}$
方程式を解きます。 a) $\sec^2 x = 2\operatorname{tg} x$; b) $\dfrac{1}{\operatorname{sen}^2 x} = 1 - \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}$; c) $\operatorname{sen} 2x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos 2x\operatorname{sen}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$; d) $(1 - \operatorname{tg} x)(1 + \operatorname{sen} 2x) = 1 + \operatorname{tg} x$。
解答を見る
a) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ・ b) $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ または $x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$ ・ c) $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ・ d) $x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$ または $x = k\pi$
(MAPOEI-75) 方程式 $\operatorname{cotg} x - \operatorname{sen} 2x = 0$ を解きます。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\dfrac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$。なるほど、$\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x} - 2\operatorname{sen} x\cos x = \dfrac{\cos x(1 - 2\operatorname{sen}^2 x)}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{\cos x\cos 2x}{\operatorname{sen} x} = 0$。 (印刷版テンプレートは$\pm\frac{\pi}{4} + k\pi$のみで、$\cos x = 0$のルートは省略されています。)
(FEI-77) $p$ のどの値に対して、方程式 $\operatorname{tg} px = \operatorname{cotg} px$ は $x = \dfrac{\pi}{2}$ を根としますか?
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$p = \dfrac{1}{2} + k$, $k \in \mathbb{Z}$
さまざまなソリューション
$2\operatorname{sen} x = 1$となるように$x \in [0, 2\pi]$を決定します。
解像度を参照してください
方程式 $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$ の一般解は $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ です。 $0 \le x \le 2\pi$ を取得するには、$k$ に値 0 を割り当てる必要があります。次に$S = \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right\}$。
倍精度の正弦が $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるような閉区間 $[0, 2\pi]$ の弧は何ですか?
解像度を参照してください
求めたアークを $x$ と呼ぶことにします。
$$\operatorname{sen} 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{3} \;\Longrightarrow\; 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\text{ ou }\; 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\Longrightarrow\; x = \frac{\pi}{6} + k\pi \;(1) \;\text{ ou }\; x = \frac{\pi}{3} + k\pi \;(2)$$（ いわゆる一般解）。 $[0, 2\pi]$ の円弧だけが必要です。 $k$ に値を代入します: (1)、$k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$、および $k = 1 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}$。 (2)、$k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$、および $k = 1 \Rightarrow x = \frac{4\pi}{3}$ にあります。 $k$ の他の値は、$[0, 2\pi]$ から $x$ を取り出します。
$$S = \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}\right\}$$$0 < x < \pi$と$\operatorname{sen} 3x = \dfrac{1}{2}$が一致するように$x$を決定します。
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$S = \left\{\dfrac{\pi}{18}, \dfrac{5\pi}{18}, \dfrac{13\pi}{18}, \dfrac{17\pi}{18}\right\}$
正弦が倍精度の正弦と等しくなるような閉区間 $[0, 2\pi]$ の弧は何ですか?
解像度を参照してください
(1): $k = 0 \Rightarrow x = 0$; $k = 1 \Rightarrow x = 2\pi$。 (2) 内: $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$; $k = 1 \Rightarrow x = \pi$; $k = 2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{3}$。
$$S = \left\{0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\right\}$$区間$[0, \pi]$に属する方程式$\operatorname{sen} 3x = \operatorname{sen} 2x$の解を求めます。
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$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{5}, \dfrac{3\pi}{5}, \pi\right\}$
$0 < x < 2\pi$と$\cos 2x = \dfrac{1}{2}$が一致するように$x$を決定します。
解像度を参照してください
(1) から: $k = 0 \Rightarrow \frac{\pi}{6}$、$k = 1 \Rightarrow \frac{7\pi}{6}$。送信元 (2): $k = 1 \Rightarrow \frac{5\pi}{6}$、$k = 2 \Rightarrow \frac{11\pi}{6}$。次に$S = \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right\}$。
$\cos 3x = \cos 2x$と$0 \le x \le \pi$のような$x$を取得します。
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$S = \left\{0, \dfrac{2\pi}{5}, \dfrac{4\pi}{5}\right\}$
(EESCUSP-69) $4\operatorname{sen}^3 x - \operatorname{sen} x = 0$ から $0 \le x \le 2\pi$ までの解を求めます。
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$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}, 2\pi\right\}$
$0 \le x \le \pi$と$\operatorname{tg} 6x = \operatorname{tg} 2x$が一致するように$x$を決定します。
解像度を参照してください
$\operatorname{tg} 6x = \operatorname{tg} 2x \Rightarrow 6x = 2x + k\pi \Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{4}$。 $k = 0, 1, 2, 3, 4$を行うと$x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi$が得られます。 $6x$ と $2x$ の接線が存在しない $\frac{\pi}{4}$ と $\frac{3\pi}{4}$ を除きます。
$$S = \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi\right\}.$$(MAPOFEI-74) $0 \le x \le 2\pi$の範囲で$\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = 2$となるように$x$を計算します。
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$S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}\right\}$
$0 \le x \le \pi$なので、$\sqrt{\operatorname{sen}^2 x} - \sqrt{\cos^2 x} = 0$を求めます。
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$S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right\}$
(Itajubá-69) $x + y = \dfrac{\pi}{3}$ を知って方程式 $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y = 1$ を解きます。
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$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $y = \dfrac{\pi}{6} - 2k\pi$
古典的な方程式
方程式$\sqrt{3}\cos x + \operatorname{sen} x = 1$を解きます。
表示解像度 (3 つの方法)
メソッド 1。 $\operatorname{sen} x = u$ と $\cos x = v$ を実行します: $\begin{cases} u + \sqrt{3}\,v = 1 & (1) \\ u^2 + v^2 = 1 & (2) \end{cases}$。 (1)から$u = 1 - \sqrt{3}\,v$を(2)に代入すると$(1 - \sqrt{3}\,v)^2 + v^2 = 1 \Rightarrow 4v^2 - 2\sqrt{3}\,v = 0$が得られます。次に、$v = 0$ (および $u = 1$) または $v = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (および $u = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$) です。 $\cos x = 0$ と $\operatorname{sen} x = 1$、つまり $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ の 2 つの可能性があります。または $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\operatorname{sen} x = -\frac{1}{2}$、つまり $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$。
メソッド 2。 $\operatorname{sen} x + \sqrt{3}\cos x = 1 \Rightarrow \operatorname{sen} x + \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\cos x = 1 \Rightarrow \operatorname{sen} x + \dfrac{\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}}\cos x = 1 \Rightarrow \operatorname{sen} x\cos\frac{\pi}{3} + \operatorname{sen}\frac{\pi}{3}\cos x = \cos\frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow \operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。
メソッド 3。 $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ の場合: $\dfrac{2t}{1 + t^2} + \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} = 1 \Rightarrow 2t + \sqrt{3} - \sqrt{3}\,t^2 = 1 + t^2 \Rightarrow (1 + \sqrt{3})t^2 - 2t + (1 - \sqrt{3}) = 0$。それから
$$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2(1 + \sqrt{3})} = 1 \;\text{ ou }\; -2 + \sqrt{3}.$$$t = \operatorname{tg}\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$; $\;t = -2 + \sqrt{3} = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{12}\right) \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$.
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x + \cos x = -1$; b) $\sqrt{3}\operatorname{sen} x - \cos x = -\sqrt{3}$。
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a) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = \pi + 2k\pi\right\}$ · b) $S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$
$0 \le x \le 2\pi$と$\operatorname{sen} x + \cos x = 1$が一致するように$x$を決定します。
解像度を参照してください
$\operatorname{sen} x = u$と$\cos x = v$を$\begin{cases} u + v = 1 & (1) \\ u^2 + v^2 = 1 & (2) \end{cases}$にします。 (1) (2): $u^2 + (1 - u)^2 = 1 \Rightarrow 2u^2 - 2u = 0$。 $u = 0$ と $v = 1$、または $u = 1$ と $v = 0$ の 2 つの可能性があります。したがって$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{2}, 2\pi\right\}$。
$[0, 2\pi]$ の範囲内の方程式の解を取得します。 a) $\operatorname{sen} 4x + \cos 4x = 1$; b) $|\operatorname{sen} x| + |\cos x| = 1$。
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a) $S = \left\{0, \dfrac{\pi}{8}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{8}, \pi, \dfrac{9\pi}{8}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{13\pi}{8}, 2\pi\right\}$ · b) $S = \left\{0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right\}$
(MACK-70) 実数のセットで方程式 $\operatorname{sen} 2x = 1 - \cos 2x$ を解きます。
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$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = k\pi\right\}$
$x$: $m\operatorname{sen} x + \cos x = m$ の方程式について説明します。
解像度を参照してください
$\operatorname{sen} x = \dfrac{2t}{1 + t^2}$ と $\cos x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$ を実行します。
$$m \cdot \frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = m \;\Longrightarrow\; 2mt + 1 - t^2 = m + mt^2 \;\Longrightarrow\; (m + 1)t^2 - 2mt + (m - 1) = 0.$$この方程式には、$\Delta \ge 0$: $\Delta = 4m^2 - 4(m + 1)(m - 1) = 4 > 0$ の場合にのみ実数の解があり、これは実数の $m$ ごとに発生します。 ($t$の方程式が1次の$m = -1$の場合、$2t - 2 = 0$でまだ解が存在します。また、代入が成立しない$x = \pi + 2k\pi$は$m = -1$であれば根にしかなりません。) したがって、 この方程式にはtodo $m \in \mathbb{R}$の解が存在します。
$m$ に従って次の方程式について説明します。 a) $m\cos x - (m + 1)\operatorname{sen} x = m$; b) $\operatorname{sen} x + \cos x = m$。
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a) すべての $m \in \mathbb{R}$ に対する解があります。 b) $-\sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}$ の場合にのみ、解があります。
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 5x = 0$; b) $\cos 6x + \cos 2x = 0$; c) $\operatorname{sen} 4x - \cos x = 0$; d) $\cos 3x + \operatorname{sen} 2x = 0$。
解像度を参照してください
a) $\operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 5x = 0 \Rightarrow 2\operatorname{sen} 6x\cos x = 0$。 1 番目の可能性: $\operatorname{sen} 6x = 0 \Rightarrow 6x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{6}$。 2 番目の可能性: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{k\pi}{6} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$。
b) $\cos 6x + \cos 2x = 0 \Rightarrow 2\cos 4x\cos 2x = 0$. $\cos 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$; $\cos 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{4} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\right\}$.
c) $\operatorname{sen} 4x - \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 0 \Rightarrow 2\operatorname{sen}\left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$. 1ª: $\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4} = k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}$. 2ª: $\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2k\pi}{5} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$.
d) $\cos 3x + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = 0 \Rightarrow 2\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 0$. 1ª: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. 2ª: $\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{3\pi}{10} + \dfrac{2k\pi}{5}\right\}$.
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} mx + \operatorname{sen} nx = 0$ ($m, n \in \mathbb{N}^*$); b) $\cos ax + \cos bx = 0$ ($a, b \in \mathbb{R}^*$); c) $\operatorname{sen} 2x = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$。
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a) $x = \dfrac{2k\pi}{m + n}$ または $x = \dfrac{(2k + 1)\pi}{m - n}$ (後者は $m \ne n$ の場合のみ) · b) $x = \dfrac{\pi}{a + b} + \dfrac{2k\pi}{a + b}$ または $x = -\dfrac{\pi}{a - b} + \dfrac{2k\pi}{a - b}$ (それぞれ $a + b \ne 0$ および $a - b \ne 0$ も含む) · c) $x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3}$ または $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} 4x + \operatorname{sen} 6x = 0$; b) $\cos 3x + \cos 7x = \cos 5x$。
解像度を参照してください
a) $(\operatorname{sen} 6x + \operatorname{sen} 4x) + (\operatorname{sen} 3x + \operatorname{sen} x) = 0 \Rightarrow 2\operatorname{sen} 5x\cos x + 2\operatorname{sen} 2x\cos x = 0 \Rightarrow \cos x(\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} 2x) = 0 \Rightarrow 2\cos x\operatorname{sen}\dfrac{7x}{2}\cos\dfrac{3x}{2} = 0$.
1 番目の可能性: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。 2位：$\operatorname{sen}\frac{7x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{2k\pi}{7}$。 3位：$\cos\frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$。
$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ x = \dfrac{2k\pi}{7} \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2k\pi}{3}\right\}$.
b) $(\cos 7x + \cos 3x) - \cos 5x = 0 \Rightarrow 2\cos 5x\cos 2x - \cos 5x = 0 \Rightarrow 2\cos 5x\left(\cos 2x - \frac{1}{2}\right) = 0$.
1ª: $\cos 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5}$. 2ª: $\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{5} \text{ ou } x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi\right\}$.
方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} 3x$; b) $\cos x + \cos(2x + a) + \cos(3x + 2a) = 0$; c) $\operatorname{sen} 7x + \cos 3x = \cos 5x - \operatorname{sen} x$。
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a) $x = k\pi$ または $x = \dfrac{k\pi}{3}$ ・ b) $x = \pm\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2} + k\pi$、$x = \dfrac{2\pi}{3} - a + 2k\pi$ または $x = \dfrac{4\pi}{3} - a + 2k\pi$ ・ c) $x = \dfrac{k\pi}{4}$ または $x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$
$0 \le x \le \pi$と$\cos^2(x + a) + \cos^2(x - a) = 1$が一致するように$x$を決定します。
解答を見る
$S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right\}$ ($\cos 2a \ne 0$ と仮定します。$\cos 2a = 0$ の場合はすべて $x$ で済みます)
$\operatorname{sen} 3x + \cos 2x - \operatorname{sen} x = 1$と$0 \le x \le \pi$が一致するように$x$を決定します。
解答を見る
$S = \left\{0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi\right\}$
(MAPOFEI-74) 等式 $\operatorname{sen}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす角度 $x$ をラジアン単位で求めます。
解答を見る
$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$
(MAUÁ-77) システム $\begin{cases} \operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) = 2 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 2 \end{cases}$ を考えると、 a) $x_0 = 2\pi$ および $y_0 = \dfrac{\pi}{2}$ とのペア $(x_0, y_0)$ がシステムの解ではないことを示します。 b) システムを解き、すべての解を決定します $(x, y)$。
解答を見る
a) $2\operatorname{sen}(2\pi)\cos\frac{\pi}{2} = 0 \ne 2$ · b) $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ e $y = 2k\pi$
(FEI-77) 第 1 象限の $a$ と $b$ を使用してシステム $\begin{cases} \operatorname{sen} a + \cos b = 1 \\ \operatorname{sen}\dfrac{a + b}{2} \cdot \cos\dfrac{a - b}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$ を解きます。
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$a = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $b = \dfrac{\pi}{4}$
方程式$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = \dfrac{3}{4}$を解きます。
解像度を参照してください
理論から言えば、$\operatorname{sen}^2 2x = 2\left(1 - \dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$、したがって $\operatorname{sen} 2x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、そして $2x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{4}$ になります。
$$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}\right\}$$方程式$\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = \dfrac{7}{16}$を解きます。
解像度を参照してください
理論から言えば、$\operatorname{sen}^2 2x = \dfrac{4}{3}(1 - a) = \dfrac{4}{3}\left(1 - \dfrac{7}{16}\right) = \dfrac{3}{4}$、したがって $\operatorname{sen} 2x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、そして $2x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$ になります。
$$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \pm\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\right\}$$$x \in [0, 2\pi]$ の方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = \dfrac{5}{8}$; b) $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = \dfrac{5}{8}$; c) $\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = \dfrac{1}{2}$; d) $\operatorname{sen}^6\dfrac{x}{2} + \cos^6\dfrac{x}{2} = \dfrac{7}{16}$; e) $\operatorname{sen}^3 x + \cos^3 x = 1$。
解答を見る
a) $S = \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{6}\right\}$ · b) $S = \left\{\dfrac{\pi}{8}, \dfrac{3\pi}{8}, \dfrac{5\pi}{8}, \dfrac{7\pi}{8}, \dfrac{9\pi}{8}, \dfrac{11\pi}{8}, \dfrac{13\pi}{8}, \dfrac{15\pi}{8}\right\}$ · c) $S = \left\{\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right\}$ · d) $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\right\}$ · e) $S = \left\{0, \dfrac{\pi}{2}, 2\pi\right\}$
逆循環関数
$\alpha = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{2}$となるように$\alpha$を決定します。
解像度を参照してください
$\alpha = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{2} \iff \operatorname{sen}\alpha = \dfrac{1}{2}$ と $-\dfrac{\pi}{2} \le \alpha \le \dfrac{\pi}{2}$。つまり、$\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2}$ は $\operatorname{sen}\alpha = \frac{1}{2}$ などのいずれかの$\alpha$ ではなく、$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$:$\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ の範囲にある（単一の）$\alpha$ です。
$\operatorname{arc\,sen} 0$、$\operatorname{arc\,sen}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\operatorname{arc\,sen}\left(-\dfrac{1}{2}\right)$、$\operatorname{arc\,sen} 1$、および $\operatorname{arc\,sen}(-1)$ の番号を決定します。
解答を見る
$0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{2}$ e $-\dfrac{\pi}{2}$
$\cos\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{3}\right)$を計算します。
解像度を参照してください
$\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} = \alpha$ を実行すると、$\operatorname{sen}\alpha = \frac{1}{3}$ と $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ が得られます。したがってコサインは正であり、
$$\cos\alpha = +\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\alpha} = +\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = +\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{4}\right)$を計算します。
解答を見る
$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
$\cos\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{5} + \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}\right)$を計算します。
解像度を参照してください
$\operatorname{arc\,sen}\frac{3}{5} = \alpha$ を実行すると、$\operatorname{sen}\alpha = \frac{3}{5}$、$-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$、$\cos\alpha = +\sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$ の順になります。 $\operatorname{arc\,sen}\frac{5}{13} = \beta$を実行すると、$\operatorname{sen}\beta = \frac{5}{13}$、次に$\cos\beta = +\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13}$になります。ついに、
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48 - 15}{65} = \frac{33}{65}.$$計算します: a) $\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\left(-\dfrac{2}{3}\right) + \operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{4}\right)$; b) $\operatorname{sen}\left(2\operatorname{arc\,sen}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)$; c) $\cos\left(3\operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}\right)$。
解答を見る
a) $\dfrac{\sqrt{5}(-6 + \sqrt{3})}{15 + 2\sqrt{3}}$ · b) $-\dfrac{24}{25}$ · c) $-\dfrac{2035}{2197}$
$\alpha = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となるように$\alpha$を決定します。
解像度を参照してください
$\alpha = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ および $0 \le \alpha \le \pi$;次に$\alpha = \dfrac{\pi}{6}$。
$\operatorname{arc\,cos} 1$、$\operatorname{arc\,cos}\dfrac{1}{2}$、$\operatorname{arc\,cos}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\operatorname{arc\,cos} 0$、および $\operatorname{arc\,cos}(-1)$ の番号を決定します。
解答を見る
$0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2}$ e $\pi$
$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{2}{5}\right)$を計算します。
解像度を参照してください
$\operatorname{arc\,cos}\frac{2}{5} = \alpha$ を作成する: $\cos\alpha = \frac{2}{5}$ と $0 \le \alpha \le \pi$、次に $\operatorname{sen}\alpha = +\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = +\sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ と $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\sqrt{21}}{2}$。
$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)$を計算します。
解答を見る
$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right) = \dfrac{4}{5}$
$\operatorname{cotg}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{2}{7}\right)$を計算します。
解答を見る
$\dfrac{2\sqrt{5}}{15}$
(FEI-76) 第 1 象限から $A$ と $\operatorname{arc\,sen} x = A$ があるので、$\operatorname{arc\,cos} x$ を見つけます。
解答を見る
$\operatorname{arc\,cos} x = \dfrac{\pi}{2} - A$
$\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{5}{13} + \operatorname{arc\,sen}\dfrac{7}{25}\right)$を計算します。
解像度を参照してください
$\operatorname{arc\,cos}\frac{5}{13} = \alpha$ を実行すると、$\cos\alpha = \frac{5}{13}$、$0 \le \alpha \le \pi$、次に $\operatorname{sen}\alpha = +\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13}$ になります。 $\operatorname{arc\,sen}\frac{7}{25} = \beta$ を実行すると、$\operatorname{sen}\beta = \frac{7}{25}$、$-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$、次に $\cos\beta = \frac{24}{25}$ になります。ついに、
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\alpha\cos\beta + \operatorname{sen}\beta\cos\alpha = \frac{12}{13} \cdot \frac{24}{25} + \frac{7}{25} \cdot \frac{5}{13} = \frac{288 + 35}{325} = \frac{323}{325}.$$計算します: a) $\operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{5} - \operatorname{arc\,cos}\dfrac{5}{13}\right)$; b) $\cos\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{7}{25} - \operatorname{arc\,cos}\dfrac{12}{13}\right)$; c) $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,cos}\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)$; d) $\cos\left(\dfrac{1}{2}\operatorname{arc\,cos}\dfrac{7}{25}\right)$。
解答を見る
a) $-\dfrac{16}{65}$ · b) $\dfrac{323}{325}$ · c) $\dfrac{24}{7}$ · d) $\dfrac{4}{5}$
(MAPOEI-72) 関数を$f(x) = \cos(2\operatorname{arc\,cos} x)$、$-1 \le x \le 1$とする。 a) $f(x) = 0$となるような$x$の値を決定します。 b) $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ のグラフをスケッチします。
答えを見る
$\alpha = \operatorname{arc\,cos} x$、$f(x) = \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2x^2 - 1$となります。
a) $2x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
b) $[-1, 1]$ の $g(x) = \dfrac{1}{2x^2 - 1}$ ($x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ を除く): $x = \pm 1$ では 1 の価値があり、$x = 0$ では $-1$ の価値があり、$x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ では垂直漸近線があります。
$\alpha = \operatorname{arc\,tg} 1$となるように$\alpha$を決定します。
解像度を参照してください
$\alpha = \operatorname{arc\,tg} 1 \iff \operatorname{tg}\alpha = 1$と$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$、つまり$\alpha = \dfrac{\pi}{4}$です。
$\operatorname{arc\,tg} 0$、$\operatorname{arc\,tg}\sqrt{3}$、$\operatorname{arc\,tg}(-1)$、$\operatorname{arc\,tg}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$ の番号を決定します。
解答を見る
$0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{4}$ e $-\dfrac{\pi}{6}$
$\operatorname{sen}(\operatorname{arc\,tg}\sqrt{2})$を計算します。
解像度を参照してください
$\operatorname{arc\,tg}\sqrt{2} = \alpha$ を作成: $\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{2}$ と $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (実際には $\alpha > 0$)。それから
$$\operatorname{sen}^2\alpha = \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}\alpha = +\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$$\cos\left(\operatorname{arc\,tg}\left(-\dfrac{4}{3}\right)\right)$を計算します。
解答を見る
$\dfrac{3}{5}$
$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{5} - \operatorname{arc\,tg}\dfrac{5}{12}\right)$を計算します。
解像度を参照してください
$\operatorname{arc\,sen}\frac{3}{5} = \alpha$ を実行すると、$\operatorname{sen}\alpha = \frac{3}{5}$、$-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$、次に $\cos\alpha = \frac{4}{5}$、$\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$ になります。 $\operatorname{arc\,tg}\frac{5}{12} = \beta$を実行中: $\operatorname{tg}\beta = \frac{5}{12}$。ついに、
$$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{5}{12}}{1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12}} = \frac{\frac{16}{48}}{\frac{63}{48}} = \frac{16}{63}.$$計算します: a) $\operatorname{sen}(\operatorname{arc\,tg} 2 + \operatorname{arc\,tg} 3)$; b) $\cos\left(\operatorname{arc\,tg} 2 - \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{2}\right)$; c) $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{5}\right)$; d) $\cos\left(3\operatorname{arc\,tg}\dfrac{24}{7}\right)$。
解答を見る
a) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · b) $\dfrac{4}{5}$ · c) $\dfrac{5}{12}$ · d) $-\dfrac{11\,753}{15\,625}$。 (a と b では、印刷されたテンプレートには $\pm$ が表示されます。ただし、円弧には明確に定義された値があります。a では $\operatorname{arc\,tg} 2 + \operatorname{arc\,tg} 3 = \frac{3\pi}{4}$、そのサインは正です。b では、差は $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ で、コサインは正です。)
$\operatorname{arc\,sen}\dfrac{\sqrt{5}}{5} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{\sqrt{10}} = \operatorname{arc\,tg} 1$ の等しいことを証明します。
解像度を参照してください
I) $\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{5}}{5}$、$\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{3}{\sqrt{10}}$、$\gamma = \operatorname{arc\,tg} 1$をやってみましょう。それから：
- $\operatorname{sen}\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ と $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ ($\frac{\sqrt{5}}{5} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ のため);
- $\cos\beta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ と $0 \le \beta \le \pi \Rightarrow 0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ ($\frac{3}{\sqrt{10}} > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のため);
次に$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$。そして$\operatorname{tg}\gamma = 1$、$-\frac{\pi}{2} < \gamma < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{\pi}{4}$。
II) $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$ を計算してみましょう。 $\cos\alpha = \frac{\sqrt{20}}{5}$ と $\operatorname{sen}\beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ と同様に、$\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}$ と $\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{3}$ があります。
$$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 = \operatorname{tg}\gamma.$$III) 結論: $\alpha + \beta$ と $\gamma$ は両方とも $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ にあり、接線は 1 対 1 であり、同じ接線を持ちます。ロゴ$\alpha + \beta = \gamma$。
等式を証明します。 a) (Itajubá-77) $\operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{2} + \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{4}$; b) $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{\sqrt{5}} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{\pi}{4}$; c) $\operatorname{arc\,cos}\dfrac{3}{5} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{12}{13} = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{16}{65}$; d) $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{24}{25} - \operatorname{arc\,sen}\dfrac{3}{5} = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{3}{4}$。
デモを見る
すべての項目で、演習ガイド 267 に従って、円弧を見つけ、合計関数を計算し、単射性を使用しました。
a) $\alpha = \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{2}$ と $\beta = \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3}$ は $\left]0, \frac{\pi}{4}\right[$ にあるため、$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$;そして$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \dfrac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = 1$。次に$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$。
b) $\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{\sqrt{5}}$ には接線 $\frac{1}{2}$ があり、$\operatorname{arc\,cos}\frac{3}{\sqrt{10}}$ には接線 $\frac{1}{3}$ があり、どちらも第 1 象限にあります。これは項目 (a) (および演習 267) です。
c) $\alpha = \operatorname{arc\,cos}\frac{3}{5}$ ($\operatorname{sen}\alpha = \frac{4}{5}$) と $\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{12}{13}$ ($\operatorname{sen}\beta = \frac{5}{13}$) は $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ にあるため、$\alpha + \beta \in\, ]0, \pi[$ になります。コサインは単射です。そして$\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{16}{65}$。次に$\alpha + \beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{16}{65}$。
d) $\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{24}{25}$ ($\operatorname{tg}\alpha = \frac{24}{7}$) および $\beta = \operatorname{arc\,sen}\frac{3}{5}$ ($\operatorname{tg}\beta = \frac{3}{4}$)、$0 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるため、$0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$;そして$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \dfrac{\frac{24}{7} - \frac{3}{4}}{1 + \frac{24}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \dfrac{\frac{75}{28}}{\frac{100}{28}} = \dfrac{3}{4}$。次に$\alpha - \beta = \operatorname{arc\,tg}\frac{3}{4}$。
$2\operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{7} = \dfrac{\pi}{4}$ であることを証明してください。
解像度を参照してください
$\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} = \alpha$を作成：$\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{3}$と$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < \alpha < \frac{\pi}{4} \Rightarrow 0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$(1)。 $\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7} = \beta$：$\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{7}$と$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$(2)を作成します。
(1) と (2)、$0 < 2\alpha + \beta < \pi$ を考慮し、$2\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ を証明するには、$\operatorname{tg}(2\alpha + \beta) = 1$ を証明すれば十分です。
$$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4} \qquad \operatorname{tg}(2\alpha + \beta) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1.$$等式を証明します。 a) $2\operatorname{arc\,tg}\dfrac{2}{3} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{12}{13} = \dfrac{\pi}{2}$; b) $3\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{4} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{11}{16} = \dfrac{\pi}{2}$。
デモを見る
a) $\alpha = \operatorname{arc\,tg}\frac{2}{3}$ を $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$、$0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$、$\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{\frac{4}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \dfrac{12}{5}$ とします。 $\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{12}{13}$: $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ と $\operatorname{cotg}\beta = \frac{12}{5}$ とします。次に、$\operatorname{tg} 2\alpha = \operatorname{cotg}\beta = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$、$\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ に $2\alpha$ と $\frac{\pi}{2} - \beta$ が入ります。ロゴ$2\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$。
b) $\alpha = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{4}$: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$、$0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$、$0 < 3\alpha < \frac{\pi}{2}$ とします。トリプルアークにより、$\operatorname{sen} 3\alpha = 3 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{64} = \frac{11}{16}$。 $\beta = \operatorname{arc\,cos}\frac{11}{16} \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$: $\cos\beta = \frac{11}{16} = \operatorname{sen} 3\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right)$ とします。 $\beta$と$\frac{\pi}{2} - 3\alpha$は$\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$、$\beta = \frac{\pi}{2} - 3\alpha$にあります。