Euler's Eyes
2026-10-26
別の書き方、別の数学：算木、点、結び目
いま私たちが使う数の書き方が自然に見えるのは、それしか習わなかったからである。しかしほかの文化は、量を書き表し、それで計算するという同じ問題を、別のやり方で解いた。そしてそれぞれの解き方は、その文化が考えることのできたものに跡を残した。
中国の算木
二千年近くのあいだ、中国の数学者たちは算木で計算した。竹や骨や金属の小さな棒を、列に分けた盤の上に並べるのである。各列は十進のひとつの位で、1 から 5 までの数字は同じ本数の算木で表し、6 から 9 は五を表す一本にいくつかを加えて表した。となりの列と混ざらないように、算木の置き方は交互に変わった。一の位は縦、十の位は横、百の位はまた縦である。
算木の記法は道具の記法である。それは盤を写している。空いた位は、算木のない列にすぎなかった。数が紙の上に移ると、それは空白になり、13 世紀には上のページのように小さな丸になった。
そして算木には色があった。紀元前後ごろにまとめられた『九章算術』は、「正」の数と「負」の数を使って連立方程式を解く方法を教えている。注釈者の劉徽は 263 年に、一方には赤い算木、もう一方には黒い算木を使い、それらを足したり引いたりする規則があったと説明している。ヨーロッパでは、それから千年以上たっても、負の数は「ばかげた数」と呼ばれていた。二色の道具が、一色のインクしかもたないヨーロッパの書き方がなかなか受け入れられなかったものを、考えられるものにしたのである。
マヤの点と棒
中央アメリカのマヤの人々は二十ずつ数えた。点は一、棒は五を表し、1 から 19 までの数字は、棒を最大三本、点を最大四つ使って作った。位は下から上へ積み重ねられ、空いた位には貝のような専用の記号があった。4 世紀の碑文ですでに使われていた位取りのゼロであり、インドのゼロとは独立に生まれたものである。
暦の計算では、三番目の位は $20 \cdot 20 = 400$ ではなく、一年の日数に近い $18 \cdot 20 = 360$ を表した。この記法は天文学と祭祀に仕えていた。それを使いこなす神官たちは、日食や金星の周期を何世紀も先まで計算した。
インカの結び目
インカにはアルファベットの文字はなかったが、キープがあった。主となる紐から垂れ下がった何本もの紐に、いろいろな高さで結び目をつけたものである。1923 年、アメリカのリーランド・ロックは、多くのキープが十進の位取りで数を記録していることを示した。紐の上の結び目の高さが位を表し（一の位が下、十の位がその上、というように）、結び目の種類が数字を表した。キープを作り、読む専門家であるキープカマヨクは、帝国全体の人口調査、貢納、貯蔵をそこに保存していた。
残った六十進法
最後に、位取りの書き方のうちもっとも古いバビロニアのものは、私たちの書き方の中に生き残った。彼らは六十進法で数えた。だから 1 時間は 60 分、1 分は 60 秒、1 度は 60 分である。$1\text{ h } 23\text{ min } 45\text{ s}$ と言うとき、私たちは三けたの六十進数を書いているのである。
練習：算木で 1504
$1504$ を算木でどう書くか、位ごとに説明せよ。
千の位は $1$ で、横の算木一本。百の位は $5$ で、縦の算木五本。十の位は $0$ で、空いた位（13 世紀以降の本では丸）。一の位は $4$ で、縦の算木四本。この交互の並び（横、縦、空、縦）が、たとえば $12$ と $3$ の混同を防ぐ。$12$ では、十の位の $1$ が横で、$2$ が縦である。
練習：マヤの数字で 365
暦の規則を使わずに、$365$ をマヤの二十進法で書き、記号を説明せよ。
$365 = 18 \cdot 20 + 5$ である。下の位は $5$ で、棒一本。上の位は $18$ で、棒三本と点三つ。三番目の位が $360$ を表す暦の規則を使えば、同じ数は $1 \cdot 360 + 0 \cdot 20 + 5$ と書かれる。上に点ひとつ、まん中に貝、下に棒一本である。