Euler's Eyes
2022-07-05
子どものための数学
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一連の数字を含むジオメトリ
ジオメトリを使用した数値
Elements では、幾何学的な遠近法で数字が表示されます。前回の投稿では、ある自然数と別の自然数の積を長方形または正方形の面積として見てきました。
| 財産 | 分配的 |
|---|---|
|
|
幾何学に関連する数字の例として、三角数があります。
この図から、三角数は次のように配置された数であることがわかります。
$$T_1 = 1$$$$T_2 = 3$$
$$T_3 = 6$$
$$T_4 = 10$$
これは三角数列の基本的な例であり、三角数列には一般的な公式があります。つまり、数列のパターンを定義できます。数学者は、人生を楽にするために常に近道を考えます。例えば：
$$
\begin{aligned}
T_1 &= 1\\
T_2 &= T_1 + 2 = 1 + 2 = 3\\
T_3 &= T_2 + 3 = 3 + 3 = 6\\
T_4 &= T_3 + 4 = 6 + 4 = 10\\
\end{aligned}
$$
一般的には次のとおりです。
$$
\begin{cases}
T_1 &=& 1\\
T_n &=& T_{n-1} + n\qquad \text{para qualquer número natural n.}\\
\end{cases}
$$
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等差数列
さて、あなたはカール・フリードリヒ・ガウスが6歳で三角数を推測したと信じますか?今日、私たちはそれを等差数列として知っています。
ガウスがドイツの学校で勉強していたとき、生徒の態度にストレスを感じた教師が、1 から 100 までの自然数を足すように生徒に言いました。この問題を提起したとき、彼は生徒たちが約 2 時間以上かかるだろうと想像していました。しかし、驚いたことに、ガウスは 6 歳でこの問題を 1 分以内に解決しました。
- どうやってあの少年を計算できたのですか？
- わかりやすい先生：
以下のように、1 から 100 までの番号を昇順、降順に並べます。
$$
\begin{cases}
T_{100} &=& 1 + 2 + \dots + 99 + 100\\
T_{100} &=& 100 + 99 + \dots + 2 + 1\\
\end{cases}
$$
さて、先生、次の 2 つの項を追加します。
$$2 T_{100} = \underbrace{101 + 101+ \dots + 101 + 101}_{100~\text{vezes} } $$
これを 2 回追加すると、次のようになります。
$$T_{100} = \dfrac{100 \times 101}{2}$$高校では、次の方法を知っています。
$$T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$三角数の場合と同様に、正方形に基づいて反復順序パターンを定義できます。
ただし、これは演習として残しておき、正方形に基づいて反復シーケンスのパターンを定義します。 😃 😸