Euler's Eyes
2026-10-23
基本方程式
$f$ と $g$ を変数 $x$ の 2 つの三角関数としましょう。方程式 $f(x) = g(x)$ を解くことは、$f(r) = g(r)$ が真の文となる数値 $r$ の集合 $S$ を決定することです。この集合が方程式の解集合（または真理集合）です。
歴史
三角方程式は、その名前が付くずっと前に登場しました。ギリシャ、インド、アラブの天文学者は、観測値を空の位置に変換するために、所定の正弦を持つ弧を見つける必要がありました。これらの中で最も有名なのは、Astronomia nova (1609) に掲載されているケプラー方程式です。
$$M = E - e\operatorname{sen} E,$$これは、経過時間 ($M$) と軌道の離心率 $e$ に基づいて、楕円軌道上の惑星の位置 $E$ を示します。これは代数学の演算では解決できません。ケプラーは多くの試みを経て、幾何学者に方法を見つけるよう要求しました。彼自身が暫定的にそれを解決しました。方程式の解のすべてを整数 $k$ で 1 つの式に記述するという考えは、18 世紀のオイラーが正弦、余弦を正、負、または 1 回転以上の任意の円弧に対して定義された実数の関数として扱い始めてから自然になりました。
- Nasce numa família pobre. A varíola, na infância, lhe deixa a vista fraca.
- Estuda teologia na universidade, onde o professor Michael Mästlin lhe apresenta, em aulas particulares, a teoria de Copérnico.
- Professor de matemática. Publica o Mysterium cosmographicum (1596).
- Assistente e depois sucessor de Tycho Brahe. Na Astronomia nova (1609) publica as duas primeiras leis e a equação $M = E - e\operatorname{sen}E$.
- Matemático da província. Publica a terceira lei (1619) e defende a mãe, acusada de bruxaria em Leonberg.
- Morre durante uma viagem para cobrar salários atrasados.
出典: ケプラー (MacTutor) · オイラー (MacTutor) · L. オイラー、無限分析の紹介 (1748)。
日常生活での応用
- 観覧車。 高さ 20 メートル、半径 18 メートルの中心を持ち、10 分で 1 回転する車輪の上で、中心の高さから上昇するキャビンは、最高 29 メートルに達します。 $20 + 18\operatorname{sen}\theta = 29$、つまり、 $\operatorname{sen}\theta = \frac{1}{2}$： で $\frac{1}{12}$ そして $\frac{5}{12}$ ラップの50秒と4分10秒。
- コンセント。 グリッド電圧は、1 秒あたり 60 サイクルで、1 秒あたり 0 120 回通過します。つまり、$\operatorname{sen}(2\pi \cdot 60\,t) = 0$ までの解になります。
- 潮汐。 潮が特定の高さに達する時間を知ることは、三角方程式を解くことと同じです。海軍の潮汐表は、これらの計算された解決策を提供します。
理論
基本方程式
ほとんどすべての三角方程式は、これまでの章の関係式と公式で変形された後、次の 3 つの基本方程式のいずれかに還元されます。
$$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta \qquad \cos\alpha = \cos\beta \qquad \operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta.$$ここで、$\alpha$ と $\beta$ は $x$ 内の式です (例: $\alpha = 2x$ と $\beta = \frac{\pi}{3}$)。コタンジェント、セカント、コセカントを含む方程式は、反転すると次のようになります: $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec} a \iff \operatorname{sen} x = \operatorname{sen} a$ など。
sin α = sin βを解く
$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta = \overline{OP_1}$ の場合、サイクル内の $\alpha$ と $\beta$ の画像は、$P_1$ を通過する正弦軸に垂直な線上にあります。両方とも $P$、または両方とも $P'$、またはこれらの点のそれぞれに 1 つあります。
定理方程式 sin α = sin β
$$\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta \iff \alpha = \beta + 2k\pi \;\;\text{ou}\;\; \alpha = \pi - \beta + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$つまり、 $\alpha$ と $\beta$ は一致 または補足 です（全回転未満）。
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(⇐) $\alpha = \beta + 2k\pi$ の場合、周期性により $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta$ になります。 $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$ の場合は $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}(\pi - \beta) = \operatorname{sen}\beta$ (第 2 象限縮小)。
(⇒) 積変換式を使用すると、
$$\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}\beta = 2\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = 0.$$したがって、$\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2} = 0$、つまり $\frac{\alpha - \beta}{2} = k\pi$ と $\alpha = \beta + 2k\pi$;または $\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = 0$、つまり $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ と $\alpha = \pi - \beta + 2k\pi$。
例sin x = √2/2
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}$として:
$$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \;\;\text{ou}\;\; x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi.$$$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right\}$.
cos α = cos βの分解能
$\cos\alpha = \cos\beta = \overline{OP_2}$の場合、$\alpha$と$\beta$の画像は$P_2$を通りコサイン軸に垂直な線上にあり、$P$または$P'$では$u$軸に対して対称になります。
定理方程式 cos α = cos β
$$\cos\alpha = \cos\beta \iff \alpha = \pm\beta + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$つまり、 $\alpha$ と $\beta$ は一致 または相補的 です ($\alpha + \beta = 2k\pi$)。
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(⇐) $\cos(\pm\beta + 2k\pi) = \cos(\pm\beta) = \cos\beta$、コサインは偶数で周期的であるため。
(⇒) $\cos\alpha - \cos\beta = -2\operatorname{sen}\frac{\alpha + \beta}{2}\operatorname{sen}\frac{\alpha - \beta}{2} = 0$。次に、$\frac{\alpha + \beta}{2} = k\pi$、つまり $\alpha = -\beta + 2k\pi$;または $\frac{\alpha - \beta}{2} = k\pi$、つまり $\alpha = \beta + 2k\pi$。
例cos 2x = cos x
$2x = \pm x + 2k\pi$。記号$+$の場合：$x = 2k\pi$。記号$-$の場合：$3x = 2k\pi$、$x = \frac{2k\pi}{3}$。最初のファミリーは 2 番目のファミリー (3 の $k$ 倍)、$S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{2k\pi}{3}\right\}$ に含まれているためです。
Tan α = Tan β の分解能
$\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta = \overline{AT}$の場合、$\alpha$と$\beta$の画像は直線$OT$上、つまり$P$または正反対の点$P'$にあります。
定理方程式 tg α = tg β
$$\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta \iff \alpha = \beta + k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z};\ \alpha, \beta \ne \tfrac{\pi}{2} + k\pi)$$つまり、$\alpha$ と $\beta$ は一致、 または補足的です（半回転違います）。
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(⇐) 接線の周期は $\pi$ です。
(⇒) $\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \dfrac{\operatorname{sen}(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = 0 \Rightarrow \operatorname{sen}(\alpha - \beta) = 0 \Rightarrow \alpha - \beta = k\pi$.
注意存在に気をつけろ
タンジェント、コタンジェント、セカント、またはコセカントを使用して方程式を解くときは、見つかった解が元の方程式の分母を打ち消していないことを確認してください。たとえば、両方のメンバーに $\cos x$ を乗算すると、適合しない解 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ を導入できます。
このセクションの演習は、章リスト.