1643 がエリザベート王女に宛てた手紙の中で、デカルトは 4 つの接円を 2 つずつ扱いました。 円の曲率を半径の逆数$k = \frac{1}{r}$と呼びます。定理によれば、 曲率を満たす

$$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$

適用: 半径 1 の 3 枚の等しいコインが 2 枚ずつ接触します。に収まる円の半径はいくらですか? それらの間の穴？ $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ および $k_4 = k$ の場合:

$$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$
  • 符号$+$の場合: $k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$、つまり半径は$\approx 0{,}155$です。真ん中の小さな丸です。
  • 記号$-$の場合：$k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$。負の曲率は円を示します。 半径 $\approx 2{,}155$ で他の 3 つが含まれます。
中央の円とすべてを囲む 3 つのコイン。デカルトの定理を各穴に再度適用すると、アポロニウスのガスケットが現れます。

形状を確認してください。コインの中心は 正三角形 側 2 を形成し、その中心は 各頂点からの$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}155$です。真ん中の円には半径があります $1{,}155 - 1 = 0{,}155$、すべてを囲むものの半径は $1{,}155 + 1 = 2{,}155$ です。請求書は合計されます。

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