三角形の 3 つの 垂直二等分線 は、3 つの頂点を通過する円の中心である 外心 で交わります。

発見者

この構築はユークリッドの原論の命題IV.5 (c. 300 BC) 「与えられた三角形に円を外接する」 です。 垂直二等分線の交点は3つの頂点から等距離にあるため中心となります。 Euclid は中心がどこにあるかも観察します。鋭角の場合は三角形の内側、長方形の場合は最大辺、鈍角の場合は外側です。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

同じ問題が別の形でも現れます。 並ん​​でいない 3 つの点を通過するのにちょうど 1 つの円が通過します。これは、多くの位置特定および再構成技術の基礎です。

垂直二等分線の出会いは3つの頂点から等距離にあり、外接円が決まります。
垂直二等分線の出会いは3つの頂点から等距離にあり、外接円が決まります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。

考古学者は 外心 を使用して壊れた陶器の破片を復元します。プレートの端の 1 つの破片を使用して、3 つの点をマークし、2 つの 垂直二等分線 をトレースして、元のプレートの中心と半径を見つけ、そのサイズを知ることができます。

日常生活での応用

  • プレートまたはホイールを再構築します。 中心と直径を見つけるには、端の 3 点で十分です。
  • 等距離の場所。 3 つの都市から等距離にある病院、アンテナ、または集合場所は 外心 にあります。
  • 3 点を通る円弧を描きます。 図面および CAD プログラムでは、「3 点を通る円弧」ツールでこの構造が使用されます。
  • 直角三角形。 直角三角形では、外心 は斜辺の中点です。正方形の角は常に斜辺を直径として「認識」します。

出典: 要素、命題 IV.5 · Euclid (MacTutor)。

理論と作図

定理垂直二等分線 からの競合

三角形の辺の垂直二等分線 は頂点から等しい距離にある同じ点で交わります。

$$m_1 \cap m_2 \cap m_3 = \lbrace O \rbrace, \qquad OA = OB = OC.$$

デモンストレーション。 $O$ を $m_2$ と $m_3$ ($\overline{AC}$ と $\overline{AB}$ の 垂直二等分線) の会合とします。 $O \in m_2$、$OA = OC$ のように。 $O \in m_3$、$OA = OB$など。つまり、$OB = OC$、$O$は$\overline{BC}$の垂直二等分線$m_1$の中にあります。

定義外心

垂直二等分線 辺の合流点は外心 です。三角形に外接する円（３つの頂点を通る） の外接円の中心です。