Euler's Eyes
2026-10-11
内接角
内接角は、彼が見ている円弧の半分を測定します。特殊なケース、つまり半円に内接する角度が正しい場合は、タレスによるものと考えられています。
発見者
ギリシャの伝統では、 半円に内接するすべての角度が正しいという発見はミレトス物語（紀元前6世紀）にあるとされています。 ディオゲネス・ ラエルシオは作家パンフィラの言葉を引用しながら、タレスは結果を祝うために牛を犠牲にしたと述べている。一般的な関係、つまり中心角が同じ円弧に内接する角の２倍であるという関係はユークリッドの原論の命題III.20であり、 半円の場合はIII.31である。
歴史
ドイツ語と英語の「タレスの定理」 (Satz des Thales) は、正確には半円の角度の定理であり、12 章で学習する平行線の定理ではありません。牛の物語はタレスの 8 世紀後に生きた作家によるものですが、ギリシャ人がその結果を驚くべき成果とみなしていたことを示しています。
ユークリッドの証明は、内接角の頂点を通る直径を追跡し、半径によって形成される 二等辺三角形 を使用します。同じ推論は命題 III.22 につながります。内接四角形では、対角の合計は 180° になります。
日常生活での応用
- 円盤の中心を見つけます 正方形の角を端に当て、辺が円を切る位置に印を付けます。この部分が直径になります。他の場所でも繰り返します。 2 つの直径の交点が中心になります。
- 劇場と映画館 同じ円弧上の座席からは、同じ角度から舞台を眺めることができます。
- 写真。 2 つの建物を同じ角度から見せるには、写真家はそれらを通過する円弧に沿って移動できます。
- サッカー。 ゴールの開口部を同じ角度から見た点は円弧上にあります。
出典: テイルズ (MacTutor) · 要素、命題 III.20 · 要素、命題 III.31。
理論と作図
定義内接角
内接角とは、円周上の頂点とそれに割った辺との角度のことです。 $A\hat{V}B$ では、円弧 $\overset{\frown}{AB}$ が対応する円弧、$A\hat{O}B$ が対応する中心角です。
定理内接角の測定
内接角は、対応する中心角の半分、つまり対応する円弧の半分を測定します。
$$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}.$$デモンストレーション（3件）
- 1 番目のケース — $O$ は角度の片側にあります。 $OV = OA$ (光線) であるため、$\triangle OVA$ は二等辺、$\hat{V} = \hat{A} = \alpha$ です。 $\beta$はこの三角形の外角なので$\beta = \hat{A} + \hat{V} = 2\alpha$となります。
- 2 番目のケース — $O$ は角度の内側です。 $C$ を $V$ による直径のもう一方の端とします。 1 番目のケースでは、$\beta_1 = 2\alpha_1$ ($A\hat{V}C$ 内) および $\beta_2 = 2\alpha_2$ ($C\hat{V}B$ 内)。追加: $\beta = 2\alpha$。
- 3 番目のケース — $O$ は角度の外側です。 同じ直径 $\overline{VC}$ で、1 番目のケースでは $\beta_1 = 2\alpha_1$ と $\beta_2 = 2\alpha_2$ です。減算: $\beta = \beta_1 - \beta_2 = 2(\alpha_1 - \alpha_2) = 2\alpha$。
- いずれの場合も $\alpha = \dfrac{\beta}{2}$ ですが、$\beta = \overset{\frown}{AB}$ と同様に $\alpha = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}$ があります。
定理半円に内接する角
すべての直角は半円に内接し、逆に、辺が両端を通る半円に内接するすべての角は直角です。特に、半円に内接し、一辺が直径に等しい三角形は長方形となります。
実際、$A\hat{V}B = 90^{\circ}$ の場合、対応する円弧の長さは $180^{\circ}$ になります。 $\overline{AB}$ が直径の場合、$\overset{\frown}{AB} = 180^{\circ}$ は $A\hat{V}B = 90^{\circ}$ になります。上図の「AB径」ボタンを使用します。
書き込み可能な四角形
定理内接四角形
円の中に頂点を持つ四角形が内接されます。
a) 凸四角形が円に内接する場合、 その対角は補角になります：$\hat{A} + \hat{C} = \hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$。
b) 逆数: 凸四角形に反対の補角がある場合、内接可能です。
したがって、補角をもつことが、凸四角形が内接するための必要十分条件となります。
デモを見る
a) $\hat{A}$ は登録されており、アーク $\overset{\frown}{BCD}$: $\hat{A} = \dfrac{\overset{\frown}{BCD}}{2}$ が表示されます。同様に$\hat{C} = \dfrac{\overset{\frown}{DAB}}{2}$。 $\hat{A} + \hat{C} = \dfrac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}$を追加します。 4つの角の和は$360^{\circ}$なので、同様に$\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$となります。
b) $ABCD$ が書き込み可能でない場合、円 $\lambda$ ～ $A$、$B$、$C$ は $D$ を通過しません。 $E$ を直線 $CD$ と $\lambda$ の交点とします。次に$ABCE$が入力され、$\hat{B} + \hat{E} = 180^{\circ}$が入力されます。 $\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$ 仮説では、$\hat{D} = \hat{E}$ が得られますが、$\triangle ADE$ の外角定理からすると不合理です。