ギリシャ人以来、定規とコンパスを使って3、4、5、15の辺を持つ正多角形を作成する方法が知られていました。 そこから出てくるものはすべて辺の数を 2 倍にします (6、8、10、12…)。 2000 年間、誰も次のものを見つけることができませんでした。

ガウスは、$n$ 辺の多角形を構築することは、次を使用して $\cos\frac{2\pi}{n}$ を計算することと同じであることを示しました。 整数と四則演算と平方根のみです。そして定規とコンパスは根を張る方法を知っている 正方形: それはまさに、の章で見た構造です。 [デカルト](/jp/posts/historia/descartes/）。 17 面について、彼は到達しました

$$\begin{aligned} \cos\frac{2\pi}{17} = {} & \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{16} \\ & + \frac{1}{8}\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}} \\ \approx {} & 0{,}93247. \end{aligned}$$

平方根だけがあり、一方がもう一方の中にあります。したがって、辺が17の多角形を構築できます。

法則とは何ですか? ガウスは、$n$ が次のとき、$n$ 辺の多角形が構築できることを発見しました。 2 乗の異なるフェルマー素数: $2^{2^k} + 1$ の形式の素数。 3、5、17、257、65 537。これらは、この章のフェルマー数と同じです。 オイラー、次の $2^{32}+1$ が素数ではないことが示されました。 1837では、 ピエール ヴァンツェルは、これ以外の多角形は構築できないことを証明しました。

辺の数をお選びください。緑: 定規とコンパスを使って構築できます。レッド：そんなわけないよ。

30 辺までの構成要素は、3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、 24と30。 7側のもの、 たとえば、構築できません。についての投稿も参照してください 正多角形.

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