3 または 5 の倍数

3 または 5 の倍数で、10 以下の自然数をすべてリストすると、次のようになります。 3、5、6、9。これらの倍数の合計は23です。

1000 の下の 3 または 5 のすべての倍数の合計を求めます。

Rコード
multiplos <- function(numMax){
  num <- seq_len(numMax-1)
  test <- apply(rbind(num %% 3,  num %% 5), 2, min)
  return(sum(num[test == 0]))
}

multiplos(10)
> 23
multiplos(1000)
> 233168

multiplos <- function(numMax, mult){
  num <- seq_len(numMax-1)
  vecMult <- lapply(mult , function(div) num %% div)
  matMult <- do.call(rbind, vecMult)
  test <- apply(matMult, 2, min)
  return(sum(num[test == 0]))
}

multiplos(10, c(3,5))
> 23
multiplos(1000, c(3,5))
> 233168

フィボナッチ数列でも

フィボナッチ数列の新しい各項は、前の 2 つの項を加算することによって生成されます。から始まる 1 と 2、最初の 10。条件は次のとおりです。

$$1,2,3,5,8,13, 21, 34, 55, 89, \dots$$

値が 400 万を超えないフィボナッチ数列の項を考慮する場合は、偶数項の合計を求めます。

Rコード
fib_tbl <- c(0, 1, rep(NA, 23))

fibMemory <- function(n){
  stopifnot(n > 0)
  if(!is.na(fib_tbl[n]))
    fib_tbl[n]
  else {
    fib_tbl[n - 1] <<- fibMemory(n - 1)
    fib_tbl[n - 2] <<- fibMemory(n - 2)
    fib_tbl[n - 1] + fib_tbl[n - 2]
  }
}


somPar1 <- function(num) {
  seqFib <- unlist(lapply(seq_len(num), function(val) fibMemory(val)))
  seqFib <- seqFib[!is.na(seqFib)]
  seqFib <- seqFib[!is.infinite(seqFib)]

  resp <- seqFib[seqFib %% 2 == 0]
  resp <- resp[resp < (4*10^6)]
  newresp <- cumsum(resp)

  return(tail(newresp,1))
}

somPar1(10)
> 44
somPar1(4*10^3)
> 4613732

最大の素因数

13195 の素因数は、5、7、13、29 です。

数値600851475143の最大の素因数は何ですか?

Rコード
divis <- function(num){
  divnum <- NULL
  count <- 2
  repeat{
    if(num == 1)
      break

    if(num %% count == 0){
      num <- num/count
      divnum <- c(divnum, count)
      print(num)
    }
    count <- count + 1
  }
  print(divnum)
  return(max (divnum))
}

divis(13195)
> 29
divis(600851475143)
> 6857

最大の回文積

回文番号はどちらの方法でも同じように読まれます。 2 桁の 2 桁の数値の積から作られる最大の回文

$$ 9009 = 91 \times 99$$

2 つの 3 桁の数値の積から作られる最大の回文を見つけます。

Rコード
geraRev <- function(num)
  return(as.numeric(
    paste(rev(unlist(strsplit(as.character(num),"",fixed=TRUE))), collapse="")))

calcProdMaxPalindromo <- function(numTeste){
  # numTeste <- 900:999
  ## encontra possibilidades de capicua (div 11)
  possible <- numTeste[numTeste %% 11 ==0]

  ## cria matrix com numeros de teste, possibilidades e multiplicacao das 2 primeiras colunas
  mat <- lapply(possible, function(p) cbind(numTeste, p, numTeste * p))
  mat <- do.call(rbind, mat)

  prodNum <- mat[,3]
  ## reverte os algarismos
  revnum1 <- unlist(lapply(prodNum, function(i) geraRev(i)))
  ## vector booleano de capicuas
  checkPalin <- prodNum == revnum1
  ## filtra o produtos de capicuas
  matPoss <- mat[checkPalin, ]

  ## pega maior produto
  return(max(matPoss[,3]))
}

calcProdMaxPalindromo(900:999)
> 906609

最小倍数

2520は、1から10までの各数値で剰余なく割ることができる最小の数値です。

1 から 20 までのすべての数で割り切れる最小の正の数は何ですか?

Rコード

## maximo divisor comum
mdc <- function(a, b){
  if( b == 0)
    return(a)

  return(mdc(b, (a %% b)))
}

## mínimo multiplo comum
mmc <- function(numeros){
  m <- 1
  for(n in numeros)
    m <- m * n / mdc(m, n)
  return(m)
}

mmc(1:10)
> 2520
mmc(1:11)
> 27720
mmc(1:13)
> 360360
mmc(1:20)
> 232792560

平方和の差

最初の 10 個の自然数の二乗和は次のようになります。

$$1^2+ 2^2 + \dots + 10^2 = 385$$

最初の 10 個の自然数の和の 2 乗は、

$$(1+2+\dots + 10)^2 = 55^2 = 3025$$

したがって、最初の 10 個の自然数の二乗和とその和の二乗の差は、

$$3025-385=2640$$

最初の 100 個の自然数の二乗和と和の二乗の差を求めます。

Rコード
vec <- 1:100
difsomaquad <- function(valmax) sum(seq(valmax))^2 - sum(seq(valmax)^2)

difsomaquad(10)
> 2640
difsomaquad(100)
> 25164150

10001人目のいとこ

最初の 6 つの素数を列挙すると、次のようになります。

$$2,3,5,7,11,13$$

6 番目の素数が 13 であることがわかります。

10001番目の素数は何ですか?

Rコード

primeNumbers <- function(n) {
  if (n < 2)
    stop("Input number should be at least 2.")

  x <- seq(2, n)
  primeNums <- c()

  for (i in seq(2, n)) {
    if (any(x == i)) {
      primeNums <- c(primeNums, i)
      x <- c(x[(x %% i) != 0], i)
    }
  }

  return(primeNums)
}
numprime <- primeNumbers(200000)
tail(numprime[1:6],1)
> 13
tail(numprime[1:10001],1)
> 104743

シリーズ最大の商品

最大の積を持つ 1000 桁の数字の隣接する 4 桁は次のとおりです。

$$9\times 9\times 8\times 9 = 5832$$

73167176531330624919225119674426574742355349194934 96983520312774506326239578318016984801869478851843 85861560789112949495459501737958331952853208805511 12540698747158523863050715693290963295227443043557 66896648950445244523161731856403098711121722383113 62229893423380308135336276614282806444486645238749 30358907296290491560440772390713810515859307960866 70172427121883998797908792274921901699720888093776 65727333001053367881220235421809751254540594752243 52584907711670556013604839586446706324415722155397 53697817977846174064955149290862569321978468622482 83972241375657056057490261407972968652414535100474 82166370484403199890008895243450658541227588666881 16427171479924442928230863465674813919123162824586 17866458359124566529476545682848912883142607690042 24219022671055626321111109370544217506941658960408 07198403850962455444362981230987879927244284909188 84580156166097919133875499200524063689912560717606 05886116467109405077541002256983155200055935729725 71636269561882670428252483600823257530420752963450

1000 番目の桁の数字のうち、最も良い積が得られる隣接する 13 桁を見つけます。この製品の価値は何ですか?

Rコード

str <- "7316717653133062491922511967442657474235534919493496983520312774506326239578318016984801869478851843858615607891129494954595017379583319528532088055111254069874715852386305071569329096329522744304355766896648950445244523161731856403098711121722383113622298934233803081353362766142828064444866452387493035890729629049156044077239071381051585930796086670172427121883998797908792274921901699720888093776657273330010533678812202354218097512545405947522435258490771167055601360483958644670632441572215539753697817977846174064955149290862569321978468622482839722413756570560574902614079729686524145351004748216637048440319989000889524345065854122758866688116427171479924442928230863465674813919123162824586178664583591245665294765456828489128831426076900422421902267105562632111110937054421750694165896040807198403850962455444362981230987879927244284909188845801561660979191338754992005240636899125607176060588611646710940507754100225698315520005593572972571636269561882670428252483600823257530420752963450"

seqN <- 13

getMaxProd <- function(str, seqN){
  allNum <- as.numeric(unlist(strsplit(str, split = "")))
  allSeq <- lapply(1:(length(allNum) - seqN + 1), function(i) allNum[i:(i + seqN - 1)])
  matSeq <- do.call(rbind, allSeq)

  respProd <- cbind.data.frame(matSeq, prod = apply(matSeq, 1, prod))

  return(max(respProd[,"prod"]))

}

getMaxProd(str, 4)
> 5832
getMaxProd(str, 13)
> 23514624000

特別なピタゴラススーツ

ピタゴラス トリプルは、$a< b< c$ を持つ 3 つの自然数のセットであり、次のとおりです。

$$a^2+ b^2 = c^2$$

例えば、

$$3^2+ 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$

ピタゴラススーツは 1 つだけあります。

$$a+b+c=1000$$

製品を探す

$$abc$$
Rコード
mdc <- function(a, b){
  if(b == 0)
    return(a)

  return(mdc(b, (a %% b)))
}


## Pythagorean Triple Condition
## Euclides Equation
## if m > n and mdc(m, n) = 1 with m, n integer
## a = 2*m*n, b = m^2 - n^2, c = m^2 + n^2
prodPythagoreanTriple <- function(sumTarget) {
  n <- 1
  m <- 2
  repeat{
    if(mdc(m, n) == 1){
      a <- 2*m*n
      b <- m^2 - n^2
      c <- m^2 + n^2
      k <- sumTarget/sum(c(a, b, c))

      if(sumTarget %% k == 0){
        a <- k * a
        b <- k * b
        c <- k * c
        break
      }
    }
    m <- m + 1
  }
  return(a * b * c)
}

prodPythagoreanTriple(1000)
> 31875000

素数の合計

fr 10 の下の素数の合計は次のとおりです。

$$2+3+5+7=17$$

200 万未満のすべての素数の合計を求めます。

Rコード

primeNumbers <- function(n) {
  if (n < 2)
    stop("Input number should be at least 2.")

  x <- seq(2, n)
  primeNums <- c()

  for (i in seq(2, n)) {
    if (any(x == i)) {
      primeNums <- c(primeNums, i)
      x <- c(x[(x %% i) != 0], i)
    }
  }
  return(primeNums)
}
numprime <- primeNumbers(2000001)


sumPrime <- function(target, numprime) sum(numprime[numprime < target])

sumPrime(10, numprime)
> 17
sumPrime(2000000, numprime)
> 142913828922

グリッド内の最大の製品

下記の20×20のマス目において、対角線に沿った4つの数字が赤色でマークされています。

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Rコード

productDirection <- function(i, j, mat, direction) {
  n <- nrow(mat)

  if (direction == "horizontal" && j <= n - 3)
    return(prod(mat[i, j + c(0,1,2,3)]))

  if (direction == "vertical" && i <= n - 3)
    return(prod(mat[i+ c(0,1,2,3), j ]))

  if (direction == "diag_dr" && i <= n - 3 && j <= n - 3)
    return(mat[i, j] * mat[i+1, j+1] * mat[i+2, j+2] * mat[i+3, j+3])

  if (direction == "diag_dl" && i <= n - 3 && j >= 4)
    return(mat[i, j] * mat[i+1, j-1] * mat[i+2, j-2] * mat[i+3, j-3])

  if (direction == "vertical_up" && i >= 4)
    return(prod(mat[i- c(0,1,2,3), j ]))

  return(0)
}


greaterProduct <- function(mat) {
  n <- nrow(mat)
  dir <- c("horizontal", "vertical", "diag_dr", "diag_dl", "vertical_up")

  index <- expand.grid(i = 1:n, j = 1:n, direction = dir)

  prod <- mapply(function(i, j, direction)
    productDirection(i, j, mat, direction),
    index[, "i"],
    index[, "j"],
    index[, "direction"])

  return(max(prod))
}

greaterProduct(mat)
> 70600674

割り切れる最大の三角数

三角数列は自然数を加算することで生成されます。したがって、三角形の 7 番目の数字は次のようになります。

$$1+2+3+4+5+6+7=28$$

最初の 10 項は次のようになります。

$$1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,\dots$$
$$ \begin{align} \mathbf 1 &\colon 1\\ \mathbf 3 &\colon 1,3\\ \mathbf 6 &\colon 1,2,3,6\\ \mathbf{10} &\colon 1,2,5,10\\ \mathbf{15} &\colon 1,3,5,15\\ \mathbf{21} &\colon 1,3,7,21\\ \mathbf{28} &\colon 1,2,4,7,14,28 \end{align} $$

28 が 5 つを超える約数を持つ最初の三角形の数値であることがわかります。 約数が 500 を超える三角形の最初の数値の値は何ですか?

Rコード

divisors <- function(x){
  #  Vector of numberes to test against
  y <- seq_len(x)
  #  Modulo division. If remainder is 0 that number is a divisor of x so return it
  return(y[ x%%y == 0 ])
}


# Função para calcular o número de divisores
divisorNumb <- function(n) {
  count <- 0
  for (i in 1:sqrt(n)) {
    if (n %% i == 0) {
      if (i * i == n)
        count <- count + 1
      else
        count <- count + 2
    }
  }
  return(count)
}

# Função para encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
getTriangleNumberLimit <- function(limDiv) {
  triangleNum <- 0
  i <- 1
  repeat {
    triangleNum <- triangleNum + i
    if (divisorNumb(triangleNum) > limDiv)
      return(triangleNum)

    i <- i + 1
  }
}

# Encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
resultado <- getTriangleNumberLimit(500)
print(resultado)
> 76576500

バージョン2

Rコード

# Função para gerar números primos até um certo limite usando o Crivo de Eratóstenes
crivo_eratostenes <- function(limite) {
  primos <- rep(TRUE, limite)
  primos[1] <- FALSE # 1 não é primo
  for (i in 2:sqrt(limite)) {
    if (primos[i]) {
      primos[seq(i*i, limite, by=i)] <- FALSE
    }
  }
  return(which(primos))
}

# Função para fatorar um número inteiro em seus fatores primos
fatoracao_prima <- function(n) {
  if (n <= 1)
    stop("O número deve ser maior que 1.")

  fatores <- integer() # Vetor para armazenar os fatores primos

  # Obter todos os primos até a raiz quadrada de n
  limite <- floor(sqrt(n))
  primos <- crivo_eratostenes(limite)

  for (divisor in primos) {
    while (n %% divisor == 0) {
      fatores <- c(fatores, divisor)
      n <- n / divisor
    }
  }

  # Se n é um número primo maior que a raiz quadrada de n
  if (n > 1)
    fatores <- c(fatores, n)

  return(fatores)
}


# Função para calcular o número de divisores

divisorNumb <- function(n) {
  if (n <= 0)
    stop("O número deve ser maior que 0.")

  # Obter a fatoração prima do número
  fatores <- fatoracao_prima(n)

  # Contar a multiplicidade de cada fator primo
  tabela_fatores <- table(fatores)

  # Calcular o número de divisores a partir das multiplicidades
  numero_divisores <- prod(tabela_fatores + 1)

  return(numero_divisores)
}

# Função para encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
getTriangleNumberLimit <- function(limDiv) {
  triangleNum <- 0
  i <- 1
  repeat {
    triangleNum <- triangleNum + i
    if (divisorNumb(triangleNum) > limDiv)
      return(triangleNum)

    i <- i + 1
  }
}

# Encontrar o primeiro número triangular com mais de 500 divisores
resultado <- getTriangleNumberLimit(500)
print(resultado)
> 76576500

ビッグサム

次の 100 50 桁の数値の合計の最初の 10 桁を計算します。

37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
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16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
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65378607361501080857009149939512557028198746004375
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94953759765105305946966067683156574377167401875275
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11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
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  "91430288197103288597806669760892938638285025333403","34413065578016127815921815005561868836468420090470",
  "23053081172816430487623791969842487255036638784583","11487696932154902810424020138335124462181441773470",
  "63783299490636259666498587618221225225512486764533","67720186971698544312419572409913959008952310058822",
  "95548255300263520781532296796249481641953868218774","76085327132285723110424803456124867697064507995236",
  "37774242535411291684276865538926205024910326572967","23701913275725675285653248258265463092207058596522",
  "29798860272258331913126375147341994889534765745501","18495701454879288984856827726077713721403798879715",
  "38298203783031473527721580348144513491373226651381","34829543829199918180278916522431027392251122869539",
  "40957953066405232632538044100059654939159879593635","29746152185502371307642255121183693803580388584903",
  "41698116222072977186158236678424689157993532961922","62467957194401269043877107275048102390895523597457",
  "23189706772547915061505504953922979530901129967519","86188088225875314529584099251203829009407770775672",
  "11306739708304724483816533873502340845647058077308","82959174767140363198008187129011875491310547126581",
  "97623331044818386269515456334926366572897563400500","42846280183517070527831839425882145521227251250327",
  "55121603546981200581762165212827652751691296897789","32238195734329339946437501907836945765883352399886",
  "75506164965184775180738168837861091527357929701337","62177842752192623401942399639168044983993173312731",
  "32924185707147349566916674687634660915035914677504","99518671430235219628894890102423325116913619626622",
  "73267460800591547471830798392868535206946944540724","76841822524674417161514036427982273348055556214818",
  "97142617910342598647204516893989422179826088076852","87783646182799346313767754307809363333018982642090",
  "10848802521674670883215120185883543223812876952786","71329612474782464538636993009049310363619763878039",
  "62184073572399794223406235393808339651327408011116","66627891981488087797941876876144230030984490851411",
  "60661826293682836764744779239180335110989069790714","85786944089552990653640447425576083659976645795096",
  "66024396409905389607120198219976047599490197230297","64913982680032973156037120041377903785566085089252",
  "16730939319872750275468906903707539413042652315011","94809377245048795150954100921645863754710598436791",
  "78639167021187492431995700641917969777599028300699","15368713711936614952811305876380278410754449733078",
  "40789923115535562561142322423255033685442488917353","44889911501440648020369068063960672322193204149535",
  "41503128880339536053299340368006977710650566631954","81234880673210146739058568557934581403627822703280",
  "82616570773948327592232845941706525094512325230608","22918802058777319719839450180888072429661980811197",
  "77158542502016545090413245809786882778948721859617","72107838435069186155435662884062257473692284509516",
  "20849603980134001723930671666823555245252804609722","53503534226472524250874054075591789781264330331690")


numbers = as.numeric(c(x,y, z,w))
totalSum <- sum(numbers)
firstTenDigits <- substr(as.character(totalSum), 1, 10)
> 5537376230

コラッツロングシーケンス

次の反復シーケンスは、正の整数のセットに対して定義されます。

$$n \rightarrow \frac{n}{2} \quad \text{n par}$$

$$n \rightarrow 3n+1 \quad \text{n ímpar}$$

上記のルールを使用し、 13 から開始して、次のシーケンスを生成します。

$$13 \rightarrow 40\rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$$

このシーケンス (13 で始まり 1 で終わる) には 10 項が含まれていることがわかります。まだ証明されていませんが (コラッツ問題)、すべての開始番号は 1 で終わると考えられています。

100 万未満の開始番号のうち、最も長いチェーンが生成されるのはどれですか?

注: チェーンが開始されると、期限が 100 万を超える場合があります。

Rコード
# Função para calcular o comprimento da sequência de Collatz para um determinado número
collatzLength <- function(n) {
  collatzLen <- 1
  repeat {
    if (n %% 2 == 0)
      n <- n / 2
    else
      n <- 3 * n + 1

    collatzLen <- collatzLen + 1

    if(n == 1) break
  }

  return(collatzLen)
}

# Encontre o número abaixo de um milhão que produz a cadeia mais longa
longestChain <- function(limit) {
  max_length <- 0
  number_with_longest_chain <- 0

  for (i in 1:(limit - 1)) {
    len <- collatzLength(i)
    if (len > max_length) {
      max_length <- len
      number_with_longest_chain <- i
    }
  }

  return(list("number" = number_with_longest_chain, "length" = max_length))
}

# Encontre o número inicial abaixo de um milhão com a cadeia de Collatz mais longa
result <- longestChain(1000000)
print(result)

> $number
[1] 837799

$length
[1] 525

トラスパス

2x2 グリッドの左上隅から開始すると、右と下にしか移動できない場合があります。右下にちょうど6ルートがあります。

20 x 20 グリッドを通るそのようなルートはいくつありますか?

𝑛×𝑛グリッドを通るルートの数を計算するには 右または下にしか移動できない場合、解決策は組み合わせベースです。

この問題では、任意の順序で n を右に移動し、n を下に移動することを選択します。これは、二項係数を計算することと同じです。

n x n グリッドを通るルートの数の式は次のようになります。

$$\text{routes} = \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(2n-n)!n!}$$

​

Rコード

# Função que calcula o fatorial
factorial <- function(x) {
  if (x == 0)
    return(1)

  return(prod(1:x))
}

# Função para calcular coeficiente binomial (2n escolha n)
binomialCoefficient <- function(n)
  return(factorial(2 * n) / (factorial(n) * factorial(n)))


# Number of routes through an n x n grid
gridRoutes <- function(n)
  return(binomialCoefficient(n))


# Example: Calculate routes through a 20x20 grid
n <- 20
routes <- gridRoutes(n)

cat("The number of routes through a", n, "x", n, "grid is:", routes, "\n")

> $The number of routes through a 20 x 20 grid is: 137846528820

バージョン2

Rコード

gridRoutes <- function(n) choose(2*n, n)

# Example: Calculate routes through a 20x20 grid
n <- 20
routes <- gridRoutes(n)

cat("The number of routes through a", n, "x", n, "grid is:", routes, "\n")

> $The number of routes through a 20 x 20 grid is: 137846528820

電力桁の合計

$2^{15} = 32768$ とその桁の合計は $3+2+7+6+8=26$

数字$2^{1000}$の桁の合計はいくらですか?

Rコード
sumPowerDigits <- function(base, power)
  return(sum(as.integer(
    unlist(strsplit( ## splita os digitos
      as.character(
        format(base^power, scientific = FALSE)), "")) ## pot sem notação cientifica
      )
    )
  )


sumPowerDigits(2, 15)
> 26

sumPowerDigits(2, 1000)
> 1366

数字の文字数

1 ～ 5 の数字を 1、2、3、4、5 という単語で書くと、合計で $3+3+5+4+4=19$ 個の文字が使用されます。

1 から 1000 (1,000) までの数字をすべて単語で書くと、何文字になりますか?

注: スペースやハイフンはカウントしないでください。たとえば、(342) には文字が含まれ、(115) には文字が含まれます。数字を書くときの「e」の使用は英国の使用法に準拠しています。

Rコード

countLetterNumber <- function(n){
  letter2Num <- xfun::n2w(seq(n), cap = TRUE, hyphen = FALSE, and = TRUE)
  numNotSpace <- gsub(" ", "", letter2Num)

  return(sum(nchar(numNotSpace)))
}

countLellerNumber(5)
> 19

countLellerNumber(1000)
> 21124

パス I の最大合計

下の三角形の上部から始まり、下の行の隣接する数字に移動すると、上から下までの最大合計は 23 になります。

3
7 4

2 4 6
8 5 9 3

以下の三角形の上から下までの最大合計を求めます。

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

注: ルートは 16384 のみであるため、すべてのルートを試すことでこの問題を解決できます。ただし、問題 67 は、100 行を含む三角形を使用した同じ課題です。強引な方法では解決できず、賢い方法が必要です。

Rコード
triangulo <- list(
  c(3),
  c(7, 4),
  c(2, 4, 6),
  c(8, 5, 9, 3)
)

triangulo1 <- list(
  c(75),
  c(95, 64),
  c(17, 47, 82),
  c(18, 35, 87, 10),
  c(20, 4, 82, 47, 65),
  c(19, 1, 23, 75, 3, 34),
  c(88, 2, 77, 73, 7, 63, 67),
  c(99, 65, 4, 28, 6, 16, 70, 92),
  c(41, 41, 26, 56, 83, 40, 80, 70, 33),
  c(41, 48, 72, 33, 47, 32, 37, 16, 94, 29),
  c(53, 71, 44, 65, 25, 43, 91, 52, 97, 51, 14),
  c(70, 11, 33, 28, 77, 73, 17, 78, 39, 68, 17, 57),
  c(91, 71, 52, 38, 17, 14, 91, 43, 58, 50, 27, 29, 48),
  c(63, 66, 4, 68, 89, 53, 67, 30, 73, 16, 69, 87, 40, 31),
  c(4, 62, 98, 27, 23, 9, 70, 98, 73, 93, 38, 53, 60, 04, 23)
)

# Função para encontrar a soma máxima do caminho
maxPathSum <- function(triangulo) {
  # Copiar o triângulo para não modificar o original
  temp <- triangulo

  # Iterar de baixo para cima
  for (i in (length(temp) - 1):1)
    for (j in 1:length(temp[[i]]))
      temp[[i]][j] <- temp[[i]][j] + max(temp[[i + 1]][j], temp[[i + 1]][j + 1])

  # O topo do triângulo agora contém a soma máxima
  return(temp[[1]][1])
}

# Calcular a soma máxima do caminho
maxPathSum(triangulo)
> 23

maxPathSum(triangulo1)
> 1074

日曜日を数える

以下の情報が提供されますが、自分で調べてみるのも良いでしょう。

  • 1900 1 月 1 日は月曜日でした。
  • 30 日間には、9 月、4 月、6 月、11 月が含まれます。
  • 雨が降っても晴れても、2 月には 28 があり、それ以外はすべて 31 です。
  • そして閏年には29歳。閏年は 4 で割り切れる年には発生しますが、400 で割り切れない限り 1 世紀には発生しません。

20 世紀中に月の 1 日に当たる日曜日は何回ありましたか (1901 1 月 1 日から 12 月 31、2000 まで)。

Rコード
# Função para verificar se um ano é bissexto
isLeapYear <- function(year)
  return((year %% 4 == 0 && year %% 100 != 0) || (year %% 400 == 0))

# Função para calcular o dia da semana do primeiro dia de um mês
dayWeek <- function(year, month) {
  # 1º de janeiro de 1900 foi uma segunda-feira
  daysMonth <- c(31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31)
  totalDays <- 0

  # Calcular os dias totais até o ano anterior
  totalDays <- sum(sapply(1900:(year - 1), function(y)
    ifelse(isLeapYear(y), 366, 365)))

  # Calcular os dias totais até o mês anterior
  totalDays <- totalDays + sum(daysMonth[1:(month - 1)])

  if (month > 2 && isLeapYear(year))
    totalDays <- totalDays + 1

  return((totalDays + 1) %% 7)
  # +1 porque 1º de janeiro de 1900 foi uma segunda-feira
}

# Contar quantos domingos caíram no primeiro dia do mês durante o século XX
countSundays <- function() {
  count <- 0
  for (year in 1901:2000)
    for (month in 1:12)
      if (dayWeek(year, month) == 0)  # 0 representa domingo
        count <- count + 1

  return(count)
}

# Calcular e imprimir o resultado
countSundays()
> 171

階乗の桁の合計

$n!$は$n\times (n-1)\times 3\times 2 \times 1$を意味します。

$10!$の数字の合計は27になります。 $100!$の数字の合計を求めます。

  • 指数関数的増加: 階乗の値は非常に急速に増加します。たとえば、( 10 != 3.628.800 ) および ( 20 != 2.432.902.008.176.640.000 ) です。
  • 計算上の制限: 数値が非常に大きい場合、多くのプログラミング言語の標準データ型では結果を保存するのに十分ではありません。

計算テクニック

  • 反復乗算: 最も直接的なアプローチは、1 から ( n ) までの数値を順番に乗算することです。
  • 素因数分解: この手法は、特により高度なアルゴリズムで乗算を最適化するために使用できます。
  • 高速乗算アルゴリズム: カラツバや FFT (高速フーリエ変換) などのアルゴリズムを使用すると、大きな数をより効率的に乗算できます。

因数分解を計算する従来の方法が大きな数値に対して失敗するのはなぜですか?

100 の階乗には 158 桁があります。 long int を使用したとしても、これほど多くの桁を格納することはできません。

基本的な数学を乗算に使用するという考え方です。

Rコード


# Function to multiply two large numbers represented as strings
multiplyLargeNumbers <- function(num1, num2) {
  len1 <- nchar(num1)
  len2 <- nchar(num2)
  result <- rep(0, len1 + len2)

  for (i in len1:1) {
    carry <- 0
    for (j in len2:1) {
      product <- as.integer(substr(num1, i, i)) * as.integer(substr(num2, j, j)) + result[i + j] + carry
      carry <- product %/% 10
      result[i + j] <- product %% 10
    }
    result[i] <- result[i] + carry
  }

  result_str <- paste(result, collapse = "")
  result_str <- sub("^0+", "", result_str)  # Remove leading zeros
  return(result_str)
}

# Function to calculate factorial of a number
factorialLarge <- function(n) {
  result <- "1"
  for (i in 2:n) {
    result <- multiplyLargeNumbers(result, as.character(i))
  }
  return(result)
}

# Function to sum the digits of a large number represented as a string
sumDigits <- function(num) {
  digits <- as.integer(unlist(strsplit(num, "")))
  return(sum(digits))
}

# Calculate the factorial of 100
fatResp <- factorialLarge(100)

# Calculate the sum of the digits of the factorial
sumDigits(fatResp)

> 648

ネームスコア

使用する names.txt (右クリックして「リンク/ターゲットを名前を付けて保存…」) , 5,000 を超える名前を含む 46K のテキスト ファイル。まず、順番に並べ替えます。 アルファベット順。次に、各名前のアルファベット値を計算し、その値を掛けます。 リスト内のアルファベット位置によって名前スコアを取得します。

たとえば、リストがアルファベット順にソートされている場合、COLIN、これは価値があります。 3+15+12+9+14=53は、リストの 938 番目の名前です。したがって、COLIN は 938x43=49714 のスコアを取得します。

ファイル内のすべての名前スコアの合計はいくらですか?

Rコード
# Ler o arquivo names.txt
file_path <- "names.txt" # Substitua pelo caminho correto do arquivo
names_data <- readLines(file_path)

# Extrair os nomes e remover aspas
names <- unlist(strsplit(names_data, split = ",")) # Divide os nomes por vírgulas
names <- gsub('"', '', names) # Remove as aspas

# Ordenar os nomes em ordem alfabética
names_sorted <- sort(names)

# Função para calcular o valor alfabético de um nome
get_alpha_value <- function(name) {
  sum(match(unlist(strsplit(name, split = "")), LETTERS))
}

# Calcular a pontuação de cada nome
name_scores <- sapply(seq_along(names_sorted), function(i) {
  name_value <- get_alpha_value(names_sorted[i])
  score <- name_value * i # Multiplica pelo índice
  return(score)
})

# Somar todas as pontuações
total_score <- sum(name_scores)

# Resultado final
cat("A pontuação total dos nomes é:", total_score, "\n")

> A pontuação total dos nomes é: 871198282

潤沢ではない金額

完全数とは、適切な約数の合計が次のようになる数です。 数値と全く同じです。たとえば、次の適切な約数の合計は、 28 は 1+2+4+7+14=28 となり、28 は完全数になります。

数値 n は、それ自体の約数の合計が以下の場合に不足していると呼ばれます。 n であり、この合計が n を超える場合は豊富であると呼ばれます。

12 は最小の豊富な数なので、1+2+3+4+6=16、つまり、可能な最小の数になります。 2 つの豊富な数の合計は 24 として記述されます。数学的な分析により、 28123 より大きいすべての整数であることがわかります。 は 2 つの豊富な数の和として書くことができます。ただし、これは 分析によって上限をさらに下げることはできませんが、 2 つの豊富な数の合計として表現できない最大の数は、この制限より小さくなります。

次のように書くことができないすべての正の整数の合計を求めます。 2 つの豊富な数の合計。

Rコード
# Função eficiente para encontrar a soma dos divisores próprios
sum_of_proper_divisors <- function(n) {
  if (n < 2) return(0)
  divisors <- c(1)  # Começa com 1, que é sempre divisor
  sqrt_n <- floor(sqrt(n))
  for (i in 2:sqrt_n) {
    if (n %% i == 0) {
      divisors <- c(divisors, i, n / i)
    }
  }
  # Remover o número duplicado caso seja um quadrado perfeito
  divisors <- unique(divisors[divisors != n])
  return(sum(divisors))
}

# Limite superior
upper_limit <- 28123

# Identificar números abundantes
abundant_numbers <- which(sapply(1:upper_limit, function(x) sum_of_proper_divisors(x) > x))

# Criar vetor booleano para representar números que podem ser escritos como soma de dois números abundantes
can_be_written <- logical(upper_limit)

# Marcar todas as somas de dois números abundantes
len <- length(abundant_numbers)
for (i in 1:len) {
  for (j in i:len) {
    sum_ab <- abundant_numbers[i] + abundant_numbers[j]
    if (sum_ab > upper_limit) break
    can_be_written[sum_ab] <- TRUE
  }
}

# Somar os números que NÃO podem ser escritos como soma de dois números abundantes
non_abundant_sum <- sum(which(!can_be_written))

# Resultado final
cat("A soma de todos os inteiros positivos que não podem ser escritos como a soma de dois números abundantes é:", non_abundant_sum, "\n")

> A soma de todos os inteiros positivos que não podem ser escritos como a soma
de dois números abundantes é: 4179871