126

$\operatorname{sen} 15^\circ$、$\cos 15^\circ$、$\operatorname{tg} 15^\circ$を計算します。

解像度を参照してください

$\operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\ell_{12}}{2}$。 $\ell_{12}$ を計算してみます。内接正六角形の頂点を $Q$、六角形の片側の円弧の中点を $P$ とすると、$PQ = \ell_{12}$ となります。半径 $OP$ は、六角形の辺を中点 $R$ で垂直に切ります。

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三角形 $PQR$ の場合、長方形 $R$ の場合:

$$PQ = \ell_{12} \qquad QR = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad RP = OP - OR = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$

($OR$ は 1 の隣の 正三角形 の高さであるため)。それから

$$\ell_{12}^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 - \sqrt{3}$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\ell_{12}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}.$$

注: 第 VI 章では、これらの値が $\operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$、$\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ とも表記されることがわかります。

127

$\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{8}$、$\cos\dfrac{\pi}{8}$、$\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{8}$を計算します。

解答を見る

$\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$, $\cos\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$, $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

128

集合$A = \left\{x = \operatorname{tg}\dfrac{k\pi}{3} \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$の要素を求めます。

解像度を参照してください

$k$に値を与える：

$k$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$x$ $\operatorname{tg} 0 = 0$ $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$ $\operatorname{tg}\pi = 0$ $\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3} = \sqrt{3}$ $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3}$ $\operatorname{tg} 2\pi = 0$ (繰り返し)

次に$A = \{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\}$。

129

$A = \left\{x = \operatorname{sen}\dfrac{k\pi}{6} \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$と$B = \left\{x = \cos\dfrac{k\pi}{4} \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$を知って$A \cap B$を決定します。

解答を見る

$A \cap B = \{-1, 0, 1\}$

130

(MAPOFEI-74) $930^\circ$ の円弧のすべての三角関数を計算します。

解答を見る

$\operatorname{sen} 930^\circ = -\dfrac{1}{2}$, $\cos 930^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} 930^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{cotg} 930^\circ = \sqrt{3}$, $\sec 930^\circ = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{cossec} 930^\circ = -2$