弧を度で測定することは今日ではあまりにも自然なことなので、それがどこから来たのか、つまり空の観察から来たのか忘れてしまいます。

発見者

バビロニアの天文学者は、空を横切る太陽の軌道を 12 個の星座と 30 個の部分に分け、合計 360 個にしました。ギリシャのニカイアのヒュパルコス (紀元前 2 世紀) は、この測定を幾何学に取り入れ、各円弧を対応する弦に関連付けた、 知られている最初の弦表を作成しました、これが三角法の始まりです。 クラウディウス プトレマイオスは、アルマゲスト (西暦 150 頃) の表を 0.5 度の和音で拡張しました。同じ円の円弧の比較と和はユークリッドの原論の第III巻に準拠しています。

ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。
ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。
クラウディウス・プトレマイオス、後の芸術的表現。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

古代の天文学者にとって、空は地球の周りを回転する大きな球体であり、星の位置はその上にある弧でした。円弧を追加し、それらを比較し、2 つが等しい時期を知ることは、カレンダーを作成し、日食を予測する人々の毎日の仕事でした。

イスタンブールのタキ・アルディン天文台で 16 世紀のオスマン帝国のミニチュアの制作に取り組む天文学者。アストロラーベや天球儀などの機器は、空の弧を測定します。
イスタンブールのタキ・アルディン天文台で 16 世紀のオスマン帝国のミニチュアの制作に取り組む天文学者。アストロラーベや天球儀などの機器は、空の弧を測定します。オイラーの目ブログのコレクション。

プトレマイオスのテーブルは千年以上使用されました。インドの数学者は文字列を計算により実用的なサインに置き換え、イスタンブール天文台のようなイスラム世界の天文学者はこれらの表を採用して改良しました。 サインという言葉は、アラビア語のジバの誤訳によってラテン語に伝わりました。

日常生活での応用

  • 時計 文字盤は 30°の 12 個の等しい円弧に分割されています。時針は毎時そのうちの 1 つを通過します。
  • タイム ゾーン。 地球は 24 時間で 360°、1 時間あたり 15° 回転します。理論的には、各ゾーンは経度で 15° の弧に対応します。
  • コンパス ローズ。 基点と側点は、円周を 45° の円弧に分割します。
  • ピザとパイ。 8 個の等しいスライスに切断すると、エッジが 45° の 8 個の合同な円弧に分割されます。

出典: ヒパルコス (MacTutor) · プトレマイオス (MacTutor) · タキ アルディン (Wikipedia)。

理論と作図

2 つの円は半径が等しい場合は合同です。中心が $O$ の円では、円弧を決定する中心角によって円弧が比較されます。

定義合同な円弧、和、不等式

$$\overset{\frown}{AB} \equiv \overset{\frown}{CD} \iff A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D, \qquad \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{CB} \iff A\hat{O}B = A\hat{O}C + C\hat{O}B,$$

$$\overset{\frown}{AB} > \overset{\frown}{CD} \iff A\hat{O}B > C\hat{O}D.$$

これらの概念は、合同な円を持つ円弧にも適用され、扇形や円セグメントにも適用されます。