Euler's Eyes
2022-10-30
ペアノ公理
自然数について話すときは、自然数の公理的な定義が必要です。これを行うために、自然数の基本演算を定義する方法を示します。
ペアノ公理
最初に、自然数の集合 $\mathbb{N}$ を公理的に定義します。このようなプロパティを説明するには、0 (ゼロ) および s (後継) という記号を使用します。
- (a) $0 \in \mathbb{N};$
- ゼロは自然数の集合に属します。
- (b) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \in \mathbb{N};$
- 自然数のセットに属するすべての数値について、後続数は自然数に属します。
- (c) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \neq 0;$
- 自然数の集合に属するすべての数値について、後続する数値はゼロとは異なります。
- (d) $\forall m,n \in \mathbb{N}\quad s(n)=s(m) \Rightarrow n=m;$
- 自然集合に属する 2 つの数値のペアごとに、後続の数値が等しいということは、これらの数値が等しいことを意味します。
- (e) $P(x)$ を $\mathbb{N}.$ の要素のプロパティとする:
- (i) $P(0);$
- (ii) $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P(n)\Rightarrow P(s(n))$ すると、すべての $n \in \mathbb{N}.$ に対して有効 $P(n)$
公理$(e)$は帰納法として知られています。記号 $s(n)$ を $n + 1.$ として解釈すると、集合 $\\{0, 1, 2, \dots\\}$ は上記の性質を満たします。このような集合では帰納法則が成り立つことに注意するために、帰納法則が成り立たないと仮定します。次に、P(n) に値しない最小のものは $n$ です。
$n$ は $P(0).$ の価値があるため、$0$ にはならないことに注意してください。
次に、一部の $m \in \\{0, 1, 2, \dots\\}.$ に対して $n = m + 1$ であることがわかります。
$m < n,$ として、$P(m).$ の価値があることがわかります。
したがって、$P(s(m)).$の価値がありますが、$P(s(m)) = P(m + 1) = P(n)$と矛盾します。
提案
提案 1。 すべての $n \in \mathbb{N}.$ に対してその $s(n) \neq n$ があります。
デモ
これを帰納法で証明しましょう。言い換えれば、私たちが望む結論を得るには、帰納法を使用して、式 $P(x)$ が $P(x)$ が $s(x) \neq x.$ であるすべての $x \in \mathbb{N},$ に対して有効であることを示すだけで済みます。
これを帰納法で示すには、$P(0)$ の価値があり、$P(n)$ の場合は $P(s(n)).$ の価値があることを示す必要があります。
$0 \neq s(0)$ は $0 \in \mathbb{N}$ ((a) による) であるため、(c) では $s(0) \neq 0$ となることに注意してください。 ここで、$n \in \mathbb{N}$ を $n \neq s(n).$ のようにします。
$s(n) = s(s(n)).$ と仮定します。
(d) までに、仮説に反して $n = s(n)$ が得られます。
$\square$
提案 2。 $n \in \mathbb{N}$ と $n \neq 0,$ の場合
$n = s(m).$ となるような $m \in \mathbb{N}$ が存在します。
デモ
この結果を示すために帰納法で示します。ザ
すべての $x \in \mathbb{N}$ に対する式 $P(x)$ の場合、$P(x)$ は式です
$$x \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{existe} ~m~ \text{tal que} \quad x = s(m)$$注意してください
$$0 \neq 0 \Rightarrow \exists m,\quad 0 = s(m)$$単にそれが有効ではないからです $0 \neq 0$ (含意の右側も無効であることは問題ではありません)。
さて、ある人にとっては
$$n \in \mathbb{N}, \quad n \neq 0 \Rightarrow \exists m \quad n = s(m).$$$s(n) \neq 0.$ と仮定します $m = n.$ を検討します
希望どおり $s(n) = s(m)$ であることに注意してください。
$\square$
自然数の後継
例: 3 の後継は 4
$$s(3)=4$$
| 数字 | 後継 |
|---|---|
| $1$ | $s(1)=2$ |
| $2$ | $s(2)=3$ |
| $3$ | $s(3)=4$ |
| $4$ | $s(4)=5$ |
1 と 2 $(1,2)$ の数字のペアは連続した数字です。
子供だけでなく、エジプトの大人や古代の人々も、後継者の概念を加えて金額を追加しました。たとえば、$a=7$ と $b=6$ が与えられた場合、後続者ごとに得られる合計は次の式で求められます。
したがって、アラビア 10 進法では $7+6=13$ となります。
これらはペアノの公理の概念です。次の投稿をお待ちください。