Euler's Eyes
2026-10-11
コンセプト、要素、分類
三角形は最も単純で最も便利な多角形です。他の多角形はすべて三角形に分割できます。
発見者
三角形は、エジプトとメソポタミア以来、装飾品、建築物、面積計算に登場します。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) には、すでに三角形の土地の面積に関する問題が提示されています。現在まで使用されている分類はユークリッド (紀元前 300 頃) に基づいています。 原論の定義 I.20 と I.21 では、彼は三角形を辺 — 等辺、二等辺、 不等辺によって、そして角度 — 長方形、鈍角、 鋭角によって分割しています。
歴史
名前はギリシャ語で説明的です。二等辺は「等しい脚」を意味し、斜角は「足が不自由」または「不均等」を意味します。 正三角形 には名誉ある地位があります。それは、2 つの円と定規で作られた 原論 (命題 I.1) の最初の構築です。
原論 は 1,000 年以上にわたって手書きでコピーされ、アラビア語、ラテン語、英語に翻訳され、ヴェネツィアで最初に 1482 で印刷されました。これは聖書に次いで、歴史上最も多くの版が発行された本の一つです。
日常生活での応用
- トラステ 屋根、金属橋、クレーンなどに三角形が使われるのは、側面を固定しても変形しないためです。
- 自転車 伝統的なフレームは 2 つの三角形で形成されており、軽量かつ高剛性です。
- 標識 「道を譲ってください」標識は逆さまの 正三角形 で、車両の安全三角マークは 等辺 です。
- 3D グラフィックス ゲームやアニメ映画のキャラクターやシナリオは、何千もの三角形のメッシュです。
出典: 要素、定義 I.20 · 要素、命題 I.1 · Euclid (MacTutor)。
理論と作図
定義三角形
3 つの同一直線上にない点 $A$、$B$、$C$ がある場合、線分 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、$\overline{BC}$ の会合は三角形 $ABC$ と呼ばれます。
$$\triangle ABC = \overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}.$$定義要素
- 頂点: 点 $A$、$B$、$C$。
- 面: $\overline{BC}$ (測定値 $a$)、$\overline{AC}$ (測定値 $b$)、および $\overline{AB}$ (測定値 $c$)。
- 角度 (内部): $B\hat{A}C$ または $\hat{A}$、$A\hat{B}C$ または $\hat{B}$、および $A\hat{C}B$ または $\hat{C}$。
辺$\overline{BC}$と角$\hat{A}$ は反対です。 $\overline{AC}$と$\hat{B}$、および$\overline{AB}$と$\hat{C}$についても同様です。
三角形の内部は、$A$を含む線分$BC$上の原点、$B$を含む線分$AC$上の原点、$C$を含む線分$AB$上の原点の3つの開いた半平面の交点です。内部は凸状の領域です。 （三角形でも内部でもない） の外側は凹面です。三角形とその内部が三角形面です。
定義分類
辺については、三角形は次のようになります。
- 3 つの辺が合同の場合は 等辺。
- 合同な 2 つの辺がある場合は二等辺です。
- 合同な 2 つの辺がない場合は不等辺となります。
角度については、三角形は次のとおりです。
- 直角であれば長方形。
- 鋭角が 3 つある場合は鋭角。
- 鈍角の場合は鈍角となります。
二等辺三角形 のうち、合同でない辺が底辺で、 その反対側の角が頂角です。 正三角形もすべて二等辺です。直角三角形では、 直角の反対側が斜辺で、 残りの2 つは足です。