公式資料: 完全な証拠 · OBMEP ソリューション · 年間コレクション。

以下の決議は、公式ノートブックの番号に従っています。テストを開いて、ステートメント、代替案、図に従ってください。ここでの説明には著作権があります。答えを確認する前に、各質問に答えてください。

質問 1 — ワゴン、色、旗

a) 白い車の番号は $1,4,7,10,\ldots$ です。フラグの場合、それらはペアである必要があります。 8 の次は10 です。

b) $2023=3\cdot674+1$。残りの 1 は白い ワゴンを識別します。

c) 偶数の空白は $4,10,16,\ldots,2020$ を形成します。一般名称は$4+6k$です。条件$4+6k\le2023$は$0\le k\le336$、 つまり337 のフラグを与えます。キャリッジ 2023 は白色ですが、フラグはありません。

質問 2 — 六角形の周囲長

中央の六角形を C と呼び、外側の 6 つの六角形に 1 から 6 まで順番に番号を付けます。 $n$ 塗装された六角形と $e$ の共有側面の場合、周囲は $P=6n-2e$ です。

a) 12 cm、色 C、1、2 の場合: 3 つの接点と $P=18-6=12$ があります。 18 cm の場合、1、3、5 をペイントします。$P=18$ と共通の面はありません。

b) 外装 1、2、4、5 をペイントします。接点は$P=24-4=\boxed{20\text{ cm}}$の2つです。これは最大値です。C を含めて、少なくとも 3 つの接触が存在します。 C を除く、6 つのサイクルの 4 つのポジションには少なくとも 2 つの接点があります。これは、2 つの空きポジションが占有ポジションの最大 2 つのブロックを分離しているためです。

c) 式 $P=6n-2e$ では、両方の分割払いは均等です。したがって、 考えられるすべての周囲はパーです。

質問 3 — カードとマルチプル

a) 1 つの可能性は $6,2,4,8,1,9,3$ です。ペアを確認すると、すべてのペアで割り切れます: 6 と 2、4 と 2、8 と 4、8 と 1、9 と 1、および 9 と 3。

b) 8 枚のカード: $9,3,6,2,4,8,1,5$。繰り返される番号はなく、隣接する各ペアはルールを満たします。

c) $5,1,7$ またはその逆の順序を使用します。利用可能なカードのうち、5 のネイバーになれるのは 1 だけ、7 のネイバーになれるのは 1 だけです。

d) 9 枚のカードを使用する場合、5 と 7 が端にあり、両方とも 1 に接続されている必要があります。しかし、これはセクション全体 $5,1,7$ を形成し、別のカードを接続する可能性はありません。1 にはすでに 2 つの隣接カードが存在します。したがって、9 に順序はありません。

質問 4 — 等しい桁の加算

各分割払いを $111a$ と $1\le a\le9$ で記述します。したがって、3 つの異なる数字の合計を昇順で操作するだけです。

a) $1332=111\cdot12$ として、$3+4+5=12$: $333+444+555=1332$ を選択できます。

b) $2109=111\cdot19$ として、$a

  • $222+888+999$;
  • $333+777+999$;
  • $444+666+999$;
  • $444+777+888$;
  • $555+666+888$.

c) $s=a+b+c$、$6\le s\le24$ であること。 1の位から10の位への桁上げは$u=\lfloor s/10\rfloor$です。次のトランスポートは $v=\lfloor(s+u)/10\rfloor$ です。十の位と百の位は、10 を法とした $s+u$ と $s+v$ から来ています。 $s=6,\ldots,9$ には $u=v=0$ があります。 $10\le s\le18$、$u=v=1$の場合; $20\le s\le24$、$u=v=2$まで。唯一の例外は $s=19$ と $u=1$ および $v=2$ です。対応する結果は**$111\cdot19=2109$**です。

質問 5 — コード化されたパス

a) コード 1001001100 について、1、4、7、および 8 の四角形の上とその他の四角形の下をスクロールします。 Aから始まり、1のマスの前に上がり、その後に下がり、4の前に上がり、4の後に下がり、7の前に上がり、8の後に下がり、10の後にBに上がります。この記述が全体のデザインを決定します。

b) 10 マスのそれぞれに、上または下の 2 つの選択肢があります。垂直方向のパッセージは選択肢間の変化によって決定されるため、各バイナリ ワードがパスに対応します。合計: $2^{10}=1024$。

c) C で交わる 2 つの正方形では、4 つのローカルの組み合わせのうち 3 つがその点を通過します。残りの 8 つの正方形は無料です。つまり**$3\cdot2^8=768$ 個のパス**があります。同様に、C を回避する $2^8$ パスを 1024 合計から減算します。

質問 6 — パリティ不変式

a) 一番上の灰色のセクタから時計回りに 1 から 6 までセクタに番号を付けます。各ステップで、示されている 2 つの動作を同時に実行します。

ステップ 反時計回りの動き 時計回りの動き セクター 1 ～ 6 の数量
家 — — $(1,1,1,1,1,1)$
1 $2\to1$ $6\to1$ $(3,0,1,1,1,0)$
2 $3\to2$ $5\to6$ $(3,1,0,1,0,1)$
3 $2\to1$ $6\to1$ $(5,0,0,1,0,0)$

b) ボールが移動するたびにセクターの色が変わります。両方のセクターが白いセクターを残す場合、ブランク量は 2 減少します。灰が出ると2が増加します。違う色が出ても変わりません。最初は空のボールが 3 つあるため、 この数量は奇数のままです。

c) 単一のセクター内にあるすべてのビー玉は、一連の白いセクター内に 0 個または 6 個のビー玉を生成します。どちらの数値も偶数であり、不変条件に反します。したがって集中力は不可能です。

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