Euler's Eyes
2026-10-11
子どものための数学
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2 点間の距離
2 点間の距離は、2 点を結ぶ線分の長さ、つまり 2 点間の最短経路になります。
発見者
この考え方は直感的であり、古いものです。著者がいるのは、その使用法とその一般化です。紀元前240 年頃、 キレネのエラトステネスはシエナとアレクサンドリアの影を比較して地球の周囲の距離を計算しました。 1906 で、 フランス人のモーリス・ フレシェは、物体間の「距離」について語るには、距離が決して負ではない、対称である、三角不等式に従うという 3 つの性質があれば十分であることに気づきました。 1914 においてフェリックス・ ハウスドルフはこの構造を計量空間と呼びました。
歴史
アレクサンドリア図書館の館長エラトステネスは、シエナでは一年で最も日が長い日に、真昼の太陽が井戸の底を照らすことを知っていました。同じ日、アレクサンドリアでは、ポールが 1 回転の 1/50 に相当する影を落としました。都市間の距離が約 5 000 スタジアムであるため、地球の円周は約 250 000 スタジアムになります。採用されるスタジアムのサイズによっては、実際の値に近い値になります。
フレシェの一般化は、距離の幾何学が平面をはるかに超えて有効であることを示しました。今日、私たちは同じ 3 つのルールを使用して、単語、画像、さらには DNA 配列の間の「距離」を測定します。
日常生活での応用
- 地図上の「直線内」。 アプリケーションでは、直線上の距離と、経路に沿った距離を個別に表示します。最初のものは常に以下です。
- アプリの実行中。 時計は、記録された GPS ポイント間の距離を毎秒加算します。
- タクシーの距離。 正方形のブロックで構成される都市では、実際のルートには水平セクションと垂直セクションが含まれます。これは、フレシェのルールに従うもう 1 つの「距離」です。
- スペル チェッカー。 入力した単語からの「距離」が最も短い (変更文字が少ない) 単語を提案します。
出典: エラトステネス (MacTutor) · フレシェ (MacTutor) · ハウスドルフ (MacTutor)。
理論と作図
定義距離
2 つの異なる点 $A$ と $B$ を指定すると、次のようになります。
- それらの間の幾何学的距離 ($d_{A,B}$ で示される) は、線分 $\overline{AB}$ またはそれに合同な線分です。
- それらの間のメートル距離は、セグメント $\overline{AB}$ の寸法 (長さ) です。
$A$ と $B$ が一致する場合、幾何学的距離はゼロ、メトリック距離もゼロになります。