24 メートルの柵で、できるだけ広い長方形の土地を囲みたいとします。辺の長さをどう選べばよいでしょうか。細長い長方形は柵の無駄が多く、正方形のほうがよさそうです。でも、どうやって証明しますか？

フェルマーは 1636 年ごろ、こうした問題を解く方法を発明しました。ニュートンより 30 年以上、ライプニッツが微積分を発表するより 50 年近く前のことです。

フェルマーの問題

フェルマーの最初の例はまさにこれでした。長さ $b$ の線分を $x$ と $b-x$ の二つに分け、積 $x(b-x)$ をできるだけ大きくせよ。これが私たちの土地です。柵が 24 メートルなら、隣り合う 2 辺の和は $12$ で、面積は

$$A(x)=x(12-x)=12x-x^2,\qquad0

一辺を変えてください。周の長さが 24 に保たれるよう、もう一辺が調整されます。面積は正方形まで増え、その後減ります。

アデカリティの考え方

フェルマーは単純なことに気づきました。極大の近くでは、関数はほとんど変わらない。山頂で横に一歩踏み出しても、高さはほとんど変わりません。山頂から遠いところでは、一歩で高さが大きく変わります。

そこで彼は、$x$ での値と、隣の点 $x+e$（$e$ は小さな量）での値を比べました。極大では、二つは「ほとんど等しい」はずです。フェルマーはこのほとんど等しいことを adaequatio、**アデカリティ（擬等式）**と呼びました。ディオファントスから借りた言葉です。

彼の手順をたどってみましょう。

  1. 隣同士を等しいとおく。 $A(x+e)\approx A(x)$ と書く： $$12(x+e)-(x+e)^2\approx12x-x^2.$$
  2. 簡単にする。 展開して、両辺に現れるものを消す： $$12e-2xe-e^2\approx0.$$
  3. $e$ で割る： $$12-2x-e\approx0.$$
  4. $e$ を消す。 もう割り算はないので、フェルマーは残った $e$ をあっさり消しました： $$12-2x=0\quad\Longrightarrow\quad x=6.$$

最善の土地は一辺 6 の正方形で、面積は 36 平方メートルです。

ステップ 3 の式から $e$ を消したものは、まさに今日の導関数 $A'(x)=12-2x$ です。極大は導関数がゼロになるところにあります。フェルマーは、名前こそないものの、微分法を使っていたのです。

微積分を使わない証明

フェルマーの方法は極大の候補を見つけます。それが本当に極大だと証明するには、代数のこつがあります。平方完成です。

$$A(x)=12x-x^2=36-(x-6)^2.$$

平方は決して負にならないので、$(x-6)^2\ge0$、$A(x)\le36$。等号は $x=6$ のときだけ成り立ちます。周が 24 メートルの長方形で、これより面積の大きいものはありません。

容積が最大の箱

この方法は、土地の問題より難しい問題にも使えます。ある工場に一辺 6 m の正方形の鋼板があり、ふたのない箱を作りたいとします。四隅から一辺 $x$ の正方形を切り取り、ふちを折り上げるのです。底面の一辺は $6-2x$、高さは $x$ で、容積は

$$V(x)=(6-2x)^2x=4x^3-24x^2+36x,\qquad0$x$ がとても小さいと箱は浅く、大きいと底面が縮みます。アデカリティにより $V(x+e)\approx V(x)$ とおき、両辺に現れるものを消し、$e$ で割って、$e$ が残った項を消します。すると

$$12x^2-48x+36=0\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+3=0\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{または}\ x=3.$$

$x=3$ では底面がまったく残らず、容積は 0 です。最大は $x=1$ のとき。底面 $4\times4$、高さ 1 の箱で、容積は $16$ m³ です。比べてみると、$x=0.5$ では $12.5$ m³、$x=1.5$ では $13.5$ m³ です。

デカルトとの論争

フェルマーは同じ方法で曲線の接線も求めました。1638 年にこの方法がデカルトに届くと、デカルトは攻撃しました。わかりにくく、たまたまうまくいっているだけだ、と。フェルマーは落ち着いて応じ、二人の手紙はしだいにとげとげしくなりました。最後にデカルトは、しぶしぶ方法が有効であることを認めました。フェルマーが説明しなかったので、なぜうまくいくのかは理解できなかったのです。

いちばん微妙なのはステップ 4 です。$e\neq0$ として割っておきながら、そのあとゼロであるかのように消してしまう。これはニュートンの $o$ やライプニッツの $dx$ が抱えたのと同じ問題です。このステップが厳密になったのは、19 世紀に極限の考えが生まれてからでした。

フェルマーはこの方法を一度も出版しませんでした。『極大と極小を求める方法』という文章は、1636 年ごろメルセンヌに送られた写本の形で出回り、パリの数学者たちのあいだで手から手へと渡っていきました。印刷されたのは 1679 年、息子サミュエルが編んだ『数学雑録』（Varia opera mathematica）が最初で、完全な版ができたのは 19 世紀末、ポール・タヌリとシャルル・アンリによる『フェルマー全集』でした。

練習：周の長さが 40 のとき、最大の面積は？

辺は $x$ と $20-x$。面積は $20x-x^2=100-(x-10)^2$ で、最大は 100、一辺 10 の正方形のときです。

練習：土地が塀に接していて、柵は 3 辺だけでよい。24 メートルの柵で最大の面積は？

塀に垂直な 2 辺を $x$ とすると、塀に平行な辺は $24-2x$。面積は $A=x(24-2x)=24x-2x^2$。アデカリティより $24-4x=0$、$x=6$。土地は $6\times12$ で、面積は 72 平方メートル。今度は最善の形が正方形ではありません。

資料： フェルマーの伝記、MacTutor。

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