太陽が頭上にある物体の影は正投影です。エンジニアはこのアイデアを、今日でも使用されている描画方法に変えました。

発見者

図形を平面に投影するという考えは古いものです。日時計はすでにノーモンの投影された影を読み取っていました。それを手法に変えたのが記述幾何学の創始者であるフランス人のガスパール・ モンジュ（1746～1818）です。モンジュは、平面図と立面図という 2 つの垂直面への正投影によってオブジェクトを表現し、紙の上での構築上の問題を解決しました。点から直線までの距離を垂線の長さとして表すのは、ユークリッドの原論の典型的な結果です。

ガスパール・モンジュ。
ガスパール・モンジュ。Мурад Зиналиев · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 4.0
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

モンジュは、メジエール陸軍学校の製図者として、1765 年頃に、長い計算をせずに要塞を計算する方法を開発しました。この方法は長年軍事機密とみなされていた。フランス革命後に初めて、新設されたパリ工科学校で公に教え、1799 に出版することができました。

日時計：文字盤に投影された棒（ノーモン）の影が時刻を示します。
日時計：文字盤に投影された棒（ノーモン）の影が時刻を示します。オイラーの目ブログのコレクション。

すべての建築計画と部品のすべての技術図面は今でもモンジュの予測に従っています。 3D モデリング プログラムは、投影を使用してオブジェクトの正面図、上面図、および側面図を生成します。

日常生活での応用

  • 敷地図。 平面図は、住宅を地表面に正投影したものです。
  • 正午の影 太陽がその高さにあるとき、傾いた棒の影は地面への投影であり、常に棒よりも小さくなります。
  • 道路までの距離 家から直線の道路までの距離は、垂直線の最小の線分で測定されます。
  • 等距離。 角の 2 つの壁から等距離にあるテーブルの場所は、それらの間の角度の 角の二等分線 上にあります。

出典: モンク (MacTutor) · 要素、命題 I.12。

理論と作図

定義正投影

  • 直線$r$上の点$P$の射影(直交)は、$r$から$P$を通る垂線が$r$を切った点$P^{\prime}$となります。 $P \in r$なら$P^{\prime} = P$。
  • セグメント $\overline{AB}$ ($r$ に垂直ではない) の $r$ への投影はセグメント $\overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ です。ここで、$A^{\prime}$ と $B^{\prime}$ は $A$ と $B$ の投影です。

垂直セグメントと斜めセグメント

$r$ の外側の点 $P$ を介して、垂直線分 $\overline{PP^{\prime}}$ と斜線分 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$、… $r$ までを描きます。

性質斜筋の比較

  1. 垂直線分はどの斜線分よりも小さいです（直角三角形の斜辺を斜辺とする辺のことです）。
  2. 合同投影を持つ斜角は合同であり、その逆も同様です（LAL およびカテト斜辺の場合）。
  3. 投影法が一致しない 2 つの斜角のうち、 投影法が最大である方の方が大きく、その逆も同様です。
  4. 合同ではない 2 つの斜角のうち大きい方は、 その投影と小さい角度を形成し、その逆も同様です。
$P$、$A$、$B$をドラッグします。投影が同じままであれば、斜線も同じままです。赤い垂直セグメントは常に最小になります。
アイテム 3 および 4 のデモをご覧ください。

3. $P^{\prime}C > P^{\prime}A$、$A$と$C$が$P^{\prime}$と同じ側にある場合、$A$は$P^{\prime}$と$C$の間にあります。角 $P\hat{A}C$ は、$P^{\prime}$ で直角となる $\triangle PP^{\prime}A$ の外側にあるため、鈍角になります。 $\triangle PAC$ では、$P\hat{A}C$ (鈍角) が $P\hat{C}A$ (鋭角) より大きく、最大角度の反対側に最大辺: $PC > PA$ があります。逆数は除外によって出ます。

4。 $PD > PC$ の場合は $P^{\prime}D > P^{\prime}C$。 $P^{\prime}$と$D$の間の$C^{\prime}$を$P^{\prime}C^{\prime} = P^{\prime}C$で取得します。次に$P\hat{C^{\prime}}P^{\prime} \equiv P\hat{C}P^{\prime}$。 $\triangle PC^{\prime}D$、$P\hat{D}C^{\prime} < P\hat{C^{\prime}}P^{\prime}$の外角定理により、$P\hat{D}P^{\prime} < P\hat{C}P^{\prime}$となります。逆数は除外によって出ます。

定義距離

  • 点から直線までの距離は、点から直線への投影までの距離$d_{P,r} = d_{P,P^{\prime}}$です。 $P \in r$の場合はnullになります。
  • 2 本の平行線間の距離は、一方の平行線の任意の点からもう一方の平行線までの距離が$d_{r,s} = d_{P,s}$、$P \in r$となります。

定理緯線は等距離です

2 本の異なる線が平行である場合、一方の線上の点は他方の線から同じ距離にあります。

デモを見る

$A, B \in r$ と $A^{\prime}, B^{\prime}$ を $s$ への投影とします。四角形の角$\hat{A}$は右の$\hat{A^{\prime}}$に付随しているので、これも直線です。三角形 $AA^{\prime}B^{\prime}$ と $B^{\prime}BA$ (共通の対角線を持つ): $\overline{AB^{\prime}}$ は共通で、交互の合同角と直角です。 LAAₒ により、それらは合同であり、$AA^{\prime} = BB^{\prime}$: $d_{A,s} = d_{B,s}$。

垂直二等分線と角の二等分線: 等距離点の場所

性質垂直二等分線ポイント

セグメントの 垂直二等分線 上のすべての点は、セグメントの端から等距離にあります (LAL の場合):

$$(m \text{ é mediatriz de } \overline{AB},\ P \in m) \Rightarrow PA = PB.$$
$P$ をドラッグします。垂直二等分線 上でのみ、$A$ と $B$ までの距離は同じです (緑色のセグメント)。

性質角の二等分線ポイント

角度の 角の二等分線 上のすべての点は、角度の側面から等距離にあります (LAAₒ の場合):

$$(s \text{ é bissetriz de } a\hat{O}b,\ P \in s) \Rightarrow d_{P,a} = d_{P,b}.$$
$P$と角の辺をドラッグします。 角の二等分線 では、辺に垂直な 2 つの線分の長さは同じです。

よく使われる 2 つのプロパティ

定理垂直な辺の角度 (練習問題 194)

それぞれ直交する２ つの辺の角度は一致 または相補 します。

定理斜辺に対する中央値 (演習 200)

直角三角形の斜辺に対する中央値は斜辺の半分を測定します: $AM = \dfrac{BC}{2}$。したがって、$MA = MB = MC$、三角形 $AMB$、$AMC$ は二等辺になります。

直角の頂点は直径 $\overline{BC}$ の半円を通ります。中央値は常に半径です。
ブックのデモを見る
  1. $\overrightarrow{AM}$ の光線に $P$ を取り、$A$ と $P$ の間に $M$ を配置すると、$PM = AM$ になります。
  2. LAL、$\triangle AMB \equiv \triangle PMC$ より。したがって、$A\hat{B}M \equiv P\hat{C}M$;内部代替 $\overleftrightarrow{BA} \parallel \overleftrightarrow{PC}$ も同様です。
  3. $\overleftrightarrow{BA} \parallel \overleftrightarrow{PC}$ と $B\hat{A}C$ ストレートから、$P\hat{C}A$ はストレート (内部担保) です。
  4. 三角形 $BAC$ と $PCA$ では、$BA = PC$、$\hat{A} \equiv \hat{C}$ (ストレート)、$\overline{AC}$ が共通です。 LAL によれば、それらは合同であるため、$AP = BC$。 $AP = 2AM$として$AM = \dfrac{BC}{2}$が来ます。