$\frac12$ と $\frac24$ という書き方は違う。一方には数字 $1$ と $2$、もう一方には $2$ と $4$ がある。二つに切ったピザの一切れを食べるのと、四つに切ったピザの二切れを食べるのは同じことではない。切れ目が一本多い。それでも私たちはためらわずに書く。

$$\frac12=\frac24=\frac36=\frac{50}{100}.$$

この等号が主張しているのは、書き方が等しいということでも、ピザが等しいということでもない。関心のあることについては、つまり食べた量については、区別がつかないということだ。

関心のあることについて等しい

これが同値関係の仕事である。ある観点から見れば同じものとみなせる異なるものを、ひとまとめにすることだ。分数の場合、基準は

$$\frac ab\sim\frac cd\quad\text{となるのは}\quad a\cdot d=b\cdot c\ \text{のとき}.$$

$\frac12$ と $\frac24$ では、$1\cdot4=2\cdot2$。$\frac12$ と $\frac35$ では、$1\cdot5\neq2\cdot3$ で、二つの分数は同値ではない。

このような関係が等号に似た記号に値するのは、第1の文章で紹介した三つの法則、つまり反射律・対称律・推移律をもつときだけだ。それをもつとき、同値関係は見事なことをする。世界を類に分けるのだ。類は引き出しのようなもので、どの対象もちょうど一つの引き出しに入る。$\frac12$ と同値な分数はすべて一つの引き出しに、$\frac13$ と同値な分数はすべて別の引き出しに入る。

ここで、19 世紀の数学がはっきりさせた考えが出てくる。有理数とは引き出しのほうであって、分数ではない。$\frac12$、$\frac24$、$\frac36$ は、ただ一つの対象、すなわち類全体の、別々の名前である。これはフレーゲの意義と意味の区別を反対側から見たものだ。対象から出発してその名前を見つけるのではなく、名前から出発し、同値なものどうしを集めて対象を組み立てる。

時計

同値のいちばん身近な例は手首にある。$15$ 時に、短針は $3$ を指している。$13$ 時間後、時計は $3+13=16$ のところに進み、$16$ は $4$ として表示される。短針にとって、$3$、$15$、$27$、$-9$ はみな同じだ。どれも $12$ の倍数だけ違う。

『整数論研究』（1801）の扉。24 歳のカール・フリードリヒ・ガウスは、この本で合同と記号 ≡ を導入した。
『整数論研究』（1801）の扉。24 歳のカール・フリードリヒ・ガウスは、この本で合同と記号 ≡ を導入した。Carl Friedrich Gauss · Wikimedia Commons · パブリックドメイン

1801 年、カール・フリードリヒ・ガウスは『整数論研究』（Disquisitiones Arithmeticae）の冒頭で、この考えに名前と定義と記号を与えた。二つの数の差が $m$ で割り切れるとき、それらは $m$ を法として合同である。そして彼はこう書いた。

今後、数の合同をこの記号 ≡ で表し、必要なときは法を括弧に入れて添える。−16 ≡ 9 (mod. 5)、−7 ≡ 15 (mod. 11)。

— ガウス『整数論研究』（1801）、第2条

脚注でガウスはこの選択を説明している。この記号を採用したのは「等しさと合同のあいだには大きな類似があるから」だという。これはレコードと同じ種類の、記号論的な議論である。関係が等しさのようにふるまうから、記号も等号に似ている。二本ではなく三本の線。ほとんど等しいが、まったく同じではない。

計算する記法

ガウスの類似は見た目だけのものではなかった。合同式は等式と同じように足したりかけたりできる。$a\equiv b$ かつ $c\equiv d$（mod $m$）ならば

$$a+c\equiv b+d\pmod m\qquad\text{かつ}\qquad ac\equiv bd\pmod m.$$

これによって $\equiv$ は能動的な記法になる。$7^{100}$ を $6$ で割った余りはいくつか。$7\equiv1\pmod 6$ なので、この合同式を百回かけ合わせると $7^{100}\equiv1^{100}=1\pmod 6$。手では不可能な計算が一行になる。

しかし類似には限界があり、その限界もまた教訓に富む。等式なら、$2a=2b$ ならば $a=b$ だ。合同式ではそうはいかない。$6$ と $0$ は余りが同じなので $2\cdot3\equiv2\cdot0\pmod 6$ だが、$3\not\equiv0\pmod 6$ である。両辺から因数を約すことが許されるのは、その因数が法と公約数をもたないときだけだ。似た記号は、等号に対してすることをするよう誘う。読み手は、その誘いがどこで終わるかを知っていなければならない。

練習：九を去る

九去法で $347\cdot28=9716$ を確かめよう。$347$：$3+4+7=14$、$1+4=5$。$28$：$2+8=10$、$1+0=1$。引き出しどうしの積は $5\cdot1=5$。次に結果：$9+7+1+6=23$、$2+3=5$。合っている。もし誰かが $9176$ と書いていても、桁の和は $23$ になって検算を通ってしまう。計算は誤っているのに。

練習：何曜日か

今日は金曜日だ。$100$ 日後は何曜日か。曜日は $7$ 日ごとにくり返すので、$100$ が $7$ を法としてどの引き出しに入るかだけが問題になる。$100=14\cdot7+2$ なので $100\equiv2\pmod 7$。$100$ 日後は $2$ 日後と同じ曜日、日曜日である。

章の目次 · ← 方程式、恒等式、定義：同じ記号の三つの仕事 · ⇒ と ⇔：方程式を変形するとき、何を得て何を失うか →