Euler's Eyes
2026-10-10
数学の歴史
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$V - A + F = 2$とサッカーボール
1750 では、オイラーは数学者クリスチャン ゴールドバッハへの手紙の中で、 凸多面体の頂点 ($V$)、辺 ($A$)、および面 ($F$):
$$V - A + F = 2.$$
指またはマウスで多面体を回転し、計算を確認します。
5 つの正多面体を確認してください。
| 多面体 | $V$ | $A$ | $F$ | $V - A + F$ |
|---|---|---|---|---|
| 四面体 | 4 | 6 | 4 | 2 |
| キューブ | 8 | 12 | 6 | 2 |
| 八面体 | 6 | 12 | 8 | 2 |
| 十二面体 | 20 | 30 | 12 | 2 |
| 正二十面体 | 12 | 30 | 20 | 2 |
この公式を使えば、驚くべきことを推測することができます。 $p$ の五角形と $h$ を縫い合わせたボールを考えてください。 サッカーボールのように各頂点がちょうど 3 つの面の交わる点である六角形。 古典的な。五角形は何個必要ですか?
- 顔: $F = p + h$。
- エッジ: 各五角形には 5 の辺があり、各六角形には 6 の辺があり、各エッジは 2 つで共有されます。 顔。次に$A = \frac{5p + 6h}{2}$。
- 頂点: 各頂点は 3 つの面によって共有されます。次に$V = \frac{5p + 6h}{3}$。
$V - A + F = 2$ に置き換えて、すべてに 6 を掛けます。
$$2(5p + 6h) - 3(5p + 6h) + 6(p + h) = 12$$
$$-(5p + 6h) + 6p + 6h = 12$$
$$p = 12.$$
カウントから六角形の数が消えた！ このタイプのボールはすべて、正確に 12 個の五角形を持っています。 六角形の数は関係ありません。古典的なサッカー ボールには 12 の五角形と 20 の六角形があります。 ($V = 60$、$A = 90$、$F = 32$、$60 - 90 + 32 = 2$)。同じ説明が次の分子にも当てはまります。 $C_{60}$などのフラーレン。