出典: FUVEST – 第 2 フェーズ 2 日目のテスト （特定のテスト。数学には問題 M01 から M06 があります）および 数学の予想される答え。 FUVEST コレクション 2026 内のファイル。

FUVEST 2026 の第 2 段階では、2 日目はそれぞれの具体的なエッセイテストで構成されました。 エリア; 数学検定はM01からM06までの6問あり、それぞれに項目があります。 a)、b)、および c)。このテストに関して、FUVEST は予想解答を公開しました。の 以下の決議は私たちのものであり、それぞれを第二の方法で確認しました。 公式の予想される回答と一致します。

テンプレート

質問 主題 答え
M01 確率：アララ文字の抽選 a) $\frac{3}{10}$; b) $\frac{1}{10}$; c) $\frac{1}{120}$
M02 リニア システム: アルコールのボトルの販売 a) 45 および 5。 b) R$ 7,80; c) 不可能
M03 三角法: 海底ソナー a) 3 m; b) $120 - 5\sqrt{2} \approx 112{,}93$ m; c) 100 m
M04 パーセンテージ: 増加後に割引が続く a) $33{,}\overline{3}\%$; b) $y = \frac{100x}{100 + x}$; c) $m = 25$
M05 空間幾何学: 立方体に内接するピラミッド a) 1 m; b) 4 m; c) $2\sqrt{3}$ m
M06 モジュール化された機能と領域 a) $(1,1)$ e $(-1,1)$; b) 4; c) $d^3$

問題 M01: ARARA の文字を描く (確率)

声明

「アララ」という言葉は、鳥の美しさや回文であることに加えて、一般的に使われています。 によって形成されるため、組み合わせ分析と確率の演習で使用されます。 5 つの文字のうち、異なる文字は 2 つだけです。この単語の文字を仮定すると、 各文字が削除される可能性が等しい壺の中にある場合、次のように答えてください。

a) 置換せずに 2 つの文字を描画して単語を形成する確率はどれくらいですか AR、つまり最初の文字 A を描画し、置換せずに 2 番目の文字 R を描画しますか?

b) 5 個の文字を置換せずに描画し、 アララという言葉？

c) 投票箱に投函された文字に色が付いていると仮定すると、 ARARA、 を形成する 5 個の文字を置換せずに再度描画する確率はどれくらいですか? 言葉 ARARA 同じ初期色ですか？

解決

投票箱には 5 個の文字があります: 3 文字 A と 2 文字 R。

a) 最初の削除では、5 文字のうち 3 が A です。A を 1 つ削除すると、4 文字が残ります。 そのうち 2 は R:

$$P(\text{AR}) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 30\%$$

b) 私たちは常に骨壷の中に何が残っているかを観察しながら、次の単語を一文字ずつたどりました。

出金 ご希望の文字 投票箱の残り物 確率
1ª A 3 A, 2 R $\frac{3}{5}$
2ª R 2 A, 2 R $\frac{2}{4}$
3ª A 2 A, 1 R $\frac{2}{3}$
4ª R 1 A, 1 R $\frac{1}{2}$
5ª A 1 A $\frac{1}{1}$
$$P(\text{ARARA}) = \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10} = 10\%$$

2 番目の方法: $\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$ 個の「単語」で文字を取り出すことができます 異なる (ARARA のアナグラム)、すべて同じ可能性があります。そのうちの一人だけがアララです、 この場合、確率は $\frac{1}{10}$ になります。

c) これで、5 の文字がすべて異なります (それぞれが独自の色を持っています)。それぞれに 撤退には1 つ の正しい文字があります:

$$P = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1} = \frac{1}{120} \approx 0{,}83\%$$

2 番目の方法: 5 個の異なる文字に対して $5! = 120$ 個の可能な順序があり、1 つだけです オリジナルのカラーシーケンスです。

応答 (a): $\frac{3}{10} = 30\%$。 応答 (b): $\frac{1}{10} = 10\%$。 応答 (c): $\frac{1}{120} \approx 0{,}83\%$。

確認するには、等確率事象.

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質問 M02: 1 および 2 リットルのアルコール ボトル (リニア システム)

声明

あるスーパーマーケット チェーンでは、あるアルコールの 2 種類のボトルを販売しています。 容量は 1 リットル、もう 1 つは 2 リットルです。毎月の特定の日に、そのうちの 1 つが、 チェーンのスーパーマーケットでは、合計 50 本のボトルが販売され、その日の価値は これらのボトルの売り上げから集められたのは R$ 320,00 でした。

a) 1 リットルのアルコールボトルの価格が R$ 6,00 で、2 リットルの場合、 R$ 10,00、その日は各タイプのボトルが何本売れましたか?

b) さて、その日、スーパーマーケットで 25 1 リットルのボトルが販売されたとします。 R$ 125,00 の合計値。 2 リットル瓶の価値はいくらですか?

c) ここで、2 リットルのボトルの期限が近づいていると想像してください。 そのスーパーマーケットは、2 リットルのボトルの価値が 2 倍になるプロモーションを発表したとのこと 1 リットル瓶と同じ、つまり R$ 6,00。可能性としては、最終的には、 プロモーションでは、マネージャーは同じ数のボトル ​​(50 ボトル) を販売し、 同じ値 (R$ 320,00)?可能であれば、それぞれの種類のボトルが何本あったか 売られた？

解決

$x$ を 1 リットルボトルの数、$y$ を 2 リットルボトルの数と呼びます。

a) ボトルの合計と収集された合計:

$$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 6x + 10y = 320 \end{cases} $$

最初の式から、$x = 50 - y$。 2番目に置き換えます:

$$6(50 - y) + 10y = 320 \quad\Rightarrow\quad 300 + 4y = 320 \quad\Rightarrow\quad y = 5$$

e $x = 50 - 5 = 45$.

チェック中: $45 \cdot 6 + 5 \cdot 10 = 270 + 50 = 320$。 ✔

b) 25本のボトルが1リットルだとすると、残りのボトルは $50 - 25 = 25$ ２リットルでした。 1リットルのものは125.00レアル、次に2リットルのものはR$125.00でした。 $320 - 125 = 195$ 本物。価格付き $p$ 2リットルボトルの場合：

$$25p = 195 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{195}{25} = 7{,}80$$

チェック中: $125 + 25 \cdot 7{,}80 = 125 + 195 = 320$。 ✔

c) R$ 6,00 の 2 本のボトルを使用すると、システムは次のようになります。

$$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 6x + 6y = 320 \end{cases} $$

最初の式に 6 を掛けると、$6x + 6y = 300$ になります。しかし、二番目はこう言います $6x + 6y = 320$。 300 と 320 を同時に有効にすることはできません。システムは それは無理です。

別の見方: すべてのボトルのコストが R$ 6,00 の場合、ボトル 50 は常に利益をもたらします $50 \cdot 6 = 300$ 実数、型間の分割は何でも。

答え (a): 45 1 リットル ボトルと 5 2 リットル ボトル。 応答 (b): R$ 7,80。 答え (c): 不可能です。R$ 6,00 の 50 ボトルは常に R$ 300,00 を生成します (システムは不可能です)。

確認するには、1 次方程式.

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質問 M03: 潜水艦のソナー (三角法)

声明

球状ビームソナーは潜水艦の船体前部に設置されています。 3 m 周囲の物体を検出します。ソナーが発する波が全体に伝播する ソナーの中心とソナーの中心との間の距離に等しい半径を持つ球を形成します。 検出された物体の表面。ソナーの中心は深さになります。 水面に対して120m。

a) ソナーの中心から物体の表面までの最小距離はどれくらいですか。 検出されていますか？

b) ソナーが中心から 10 m の距離にある物体を検出した場合、ある点で ソナーの中心を通る水平線の上45度に位置する、 水面に対する物体の深さは？

c) ソナーが地表から 170 m の深さで物体を検出した場合、 水とソナーの中心を通る水平線の下30°にあるものは何ですか? 物体からソナーの中心までの距離?

解決

a) ソナーは半径 3 m の球体です。波がその表面から出ます。オブジェクト ソナーの外側にしか存在できないため、中心から物体までの距離は少なくとも 半径自体: 3 m。

b) ソナー中心と物体（10 m 線分、斜辺）を結び、 オブジェクトから水平線までの垂直線。直角三角形が形成されます。 水平線より上のオブジェクトの高さ $d_v$ は、角度 45° の反対側です。

$$d_v = 10 \cdot \operatorname{sen} 45° = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \text{ m}$$

物体は中心の上にあり、深さは 120 m です。

$$\text{profundidade} = 120 - 5\sqrt{2} \approx 120 - 7{,}07 = 112{,}93 \text{ m}$$

確認: 45° の角度で 2 つの辺は等しい。の定理により ピタゴラス、$2d_v^2 = 10^2$、次に $d_v = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。 ✔

c) オブジェクトの深さは 170 m、つまり $170 - 120 = 50$ m の下にあります。 ソナーの水平線のこと。この差は30°の角度の反対側であり、 求める距離 $d$ は斜辺です。

$$\operatorname{sen} 30° = \frac{50}{d} \quad\Rightarrow\quad d = \frac{50}{1/2} = 100 \text{ m}$$

チェック: 角度30°の直角三角形の反対側は 斜辺の半分。 $50 = \frac{100}{2}$。 ✔

答え (a): 3 m (ソナー半径)。 答え (b): $120 - 5\sqrt{2} \approx 112{,}93$ 深さ m。 応答 (c): 100 ｍ．

確認するには、直角三角形.

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質問 M04: 「50% のすべてが 2 倍」 (増額と割引)

声明

「すべては 50% ダブルのために」 は、誤解を招くオファーに関するよく知られたフレーズです。 ミームになった。これは基本的に、製品が 100% 増加した後、 価格が 2 倍になっているため、元の価格に戻すには 50% の割引が必要です 初期値、つまり、再調整後に値が変更されないままになります。 割引。この考えに基づいて、次のように答えます。

a) 次の製品には何パーセントの割引が必要になりますか? 50%で再調整すると元の値に戻りますか?

b) 価格 P の製品が $x\%$ で再調整され、その後、 $y\%$ の割引では、再び同じ金額になります。 P. に基づいて $y$ を説明します。 提示されたモデルの$x$の、つまり調整に応じて割引$y$を表示します $x$.

c) 商品に $m\%$ の調整があり、その後 $n\%$ の割引があるとします。 最初の価格に戻ります。 $m$ と $n$ はより大きな整数であると考えてください。 ゼロよりも。 $n$ も整数となるための $m$ の最小値は何でしょうか?

解決

$x\%$ を増やすと、$\left(1 + \frac{x}{100}\right)$ が乗算されます。割引を与える $y\%$には$\left(1 - \frac{y}{100}\right)$を掛けます。

a) 50% 上昇後の価格は $1{,}5P$ です。次のような係数 $k$ が必要です。 $1{,}5P \cdot k = P$:

$$k = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667$$

価格は $\frac{2}{3}$ 倍されます。つまり、値が $\frac{1}{3}$ 減ります。 $\frac{1}{3} \approx 33{,}33\%$から割引します。

数値で確認する: R$ 100,00 + 50% = R$ 150,00; R$ 150,00 − 150 の 33,33% = 150 − 50 = R$ 100,00。 ✔

b) 条件は次のとおりです。

$$P\left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1 - \frac{y}{100}\right) = P \quad\Rightarrow\quad (100 + x)(100 - y) = 10\thinspace 000$$

$y$ を分離中:

$$100 - y = \frac{10\thinspace 000}{100 + x} \quad\Rightarrow\quad y = 100 - \frac{10\thinspace 000}{100 + x} = \frac{100x}{100 + x}$$

チェック: $x = 100$ は $y = \frac{10\thinspace 000}{200} = 50$ (ミーム) を与え、 $x = 50$ は $y = \frac{5000}{150} = 33{,}\overline{3}$ を与えます (項目 a)。 ✔

c) 項目 b の場合、$n = \frac{100m}{100 + m}$。書き換え、

$$n = 100 - \frac{10\thinspace 000}{100 + m}$$

つまり、$100 + m$ を $10\thinspace 000 = 2^4 \cdot 5^4$ で割ると正確に $n$ は整数になります。 $m > 0$ と同様に、100 より大きい 10 000 の最小の約数を探します。の 100に近い10000の約数は$\dots, 80, 100, 125, 200, \dots$です( すべての約数が $2^a 5^b$ の形式であるため、101 と 124 の間には何もありません)。最小のものは 125 です。

$$100 + m = 125 \quad\Rightarrow\quad m = 25, \qquad n = 100 - \frac{10\thinspace 000}{125} = 100 - 80 = 20$$

チェック中: 25% の増加と 20% の割引: $1{,}25 \cdot 0{,}80 = 1$。 ✔ ($m = 1, 2, \dots, 24$ を 1 つずつテストしても、$n$ の整数は得られません。)

答え (a): $\frac{1}{3} \approx 33{,}33\%$ の割引。 応答 (b): $y = \frac{100x}{100 + x}$。 応答 (c): $m = 25$ ($n = 20$ あり)。

確認するには、増額と割引.

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質問 M05: 立方体の内部のピラミッドの頂点にあるランプ

声明

天井からある程度の高さに照明器具を設置したい。ランプは 底面が正方形の正ピラミッドの頂点 P に位置します。 次の図に示すように、辺が 4 m の立方体に内接します。の予測 天井と床面の照明器具はそれぞれ点で表現されます R と Q、正方形 DCGH と ABFE の対角線の交点と一致します。

a) ピラミッドの横端のサイズが 3 m であると仮定すると、その距離はどれくらいになりますか? ランプは床にありますか？

b) ピラミッドの側端が地面に対して 45 度の角度を形成すると仮定すると、 ピラミッドの側端の長さは何メートルですか?

c) 立方体の底面上の点 P の正射影を考えると、 点 S で表される場合、エッジ PF の投影の長さはどれくらいになりますか? 高さPQが$2\sqrt{2}$mの場合、平面EFGH?

解決

ピラミッドの底面は床 ABFE (辺の 2 乗 4 m) であり、Q はその中心です。 正方形。 Q から底辺の頂点までの距離は対角線の半分です。

$$QB = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ m}$$

三角形 PQB は Q で直角です (PQ は垂直、QB は地面にあります)。

a) PQB トライアングルのピタゴラスの定理によると、$PB = 3$ は次のようになります。

$$PB^2 = PQ^2 + QB^2 \quad\Rightarrow\quad 9 = PQ^2 + 8 \quad\Rightarrow\quad PQ = 1 \text{ m}$$

b) 辺 PB が地面に対して 45° を作る場合、直角三角形 PQB は二等辺になります。 $PQ = QB = 2\sqrt{2}$。それから

$$PB = QB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4 \text{ m}$$

コサインによるチェック: $PB = \frac{QB}{\cos 45°} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 4$。 ✔

c) 配置座標: 原点に A、$x$ 軸に AB、奥行き (AB から) EFの場合）を$y$軸に、高さを$z$軸に設定します。次に $F = (4, 4, 0)$ の中心 グランドは$Q = (2, 2, 0)$と$P = (2, 2, 2\sqrt{2})$です。

EFGH の背景プレーンは $y = 4$ です。この平面に直角に投影するということは、 座標 $y$ by 4:

$$S = (2, 4, 2\sqrt{2}), \qquad F = (4, 4, 0) \text{ (já está no plano)}$$

エッジ PF の投影はセグメント SF です。

$$SF = \sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ m}$$

2 番目のパス (座標なし): EFGH 平面上の Q の投影は中点です M は EF、S は M のちょうど上の $SM = PQ = 2\sqrt{2}$ です。 SMFトライアングル は M の長方形で、$MF = 2$: $SF^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 12$、$SF = 2\sqrt{3}$。 ✔

応答 (a): 1 ｍ． 応答 (b): 4 ｍ． 応答 (c): $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ ｍ．

復習については、ピタゴラスの定理.

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質問 M06: モジュラー関数と三角形の面積

声明

モジュラー実関数 $f(x) = \frac{|x|}{d}$ ($d > 0$) を考えてみましょう。

a) $y = 1$の線と$f(x)$のグラフの交点は何ですか $d = 1$まで?

b) 軸$Oy$の右側、線$y = 2$の下に得られる領域の面積は何ですか? グラフの上の $f(x)$ から $d = 2$ まで?

c) $y = d$の線より下で、グラフの上に形成される領域の面積は何ですか $f(x)$?

解決

$f(x) = \frac{|x|}{d}$ のグラフは原点を頂点とした「V」字です: 光線 $y = \frac{x}{d}$～$x \ge 0$、$y = -\frac{x}{d}$～$x < 0$。

a) $d = 1$、$f(x) = |x|$。 1 に相当:

$$|x| = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1$$

ポイントは$(1, 1)$と$(-1, 1)$です。

b) と $d = 2$ そして $x \ge 0$, $f(x) = \frac{x}{2}$。ストレート $y = 2$ を見つけてください いつのグラフか $\frac{x}{2} = 2$、つまり、 $x = 4$。の右側の領域 $Oy$、 下に $y = 2$ グラフの上には頂点の三角形があります $(0,0)$, $(0,2)$ そして $(4,2)$: 基数 4 (水平方向、インチ方向) $y = 2$）と高さ2。

$$A = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$$

確認: 長方形 $[0,4]\times[0,2]$ には面積 8 があり、直線 $y = \frac{x}{2}$ があります。 はその対角線です。対角線の上の三角形は半分です: $4$。 ✔

c) 線 $y = d$ がグラフと交わるのは次の場合です。

$$\frac{|x|}{d} = d \quad\Rightarrow\quad |x| = d^2 \quad\Rightarrow\quad x = \pm d^2$$

「V」と直線$y = d$の間の領域は頂点の三角形$(0,0)$であり、 $(-d^2, d)$ と $(d^2, d)$: 底辺 $2d^2$ (直線 $y = d$ 上) と高さ $d$。

$$A = \frac{2d^2 \cdot d}{2} = d^3$$

項目 b を確認すると: この領域の右半分に、 $d = 2$、です。 項目 b の三角形。式は次のようになります $A = 2^3 = 8$ 地域全体と半分 は4です。 ✔

答え(a): $(1, 1)$ と $(-1, 1)$。 答え (b): 4 (面積単位)。 応答 (c): $d^3$ (エリア単位)。

確認するには、デカルト平面.

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