OBMEP 2021: 第 2 フェーズ - レベル 1

演習 1

ボード上では、OBMEP という単語の各文字は 1 から 5 までの整数を表します。異なる文字が表す 異なる数字。なお、ボードの側面に書かれているそれぞれの数字は、ボード上の文字の値の合計です。 対応する水平線。

チャレンジ

A) 文字 O の値を求めます。

応答: 1

チャレンジ

最初の行から値を追加すると、次のようになります。

$$O + O + O + O = 4. $$

$$4\times O = 4. $$

したがって、$O = 1.$

B) 文字 B の値を求めます。

応答: 11

チャレンジ
  • 文字Aから$O=1$が得られます。
  • 2 行目からは次のようになります。

スケールを覚えておいてください。詳細については一次方程式を参照してください。

$$B + B + O + B = 7$$

$$3B + O = 7$$

$$3B + 1 {\color{red}{-1}} = 7 {\color{red}{-1}}$$

$$3B = 6$$

$$3B \times {\color{red}{\frac{1}{3}}} = 6 \times {\color{red}{\frac{1}{3}}}$$

$$B = 2$$

C) 文字 M の値を求めます。

チャレンジ
  • (a)より$O=1$
  • (b)より$B=2$
  • 最後の行に値を追加すると、次のようになります。
$$E + P + O + B = 12$$

$$E + P + 1 + 2 = 12$$

$$E + P + 3 {\color{red}{-3}} = 12 {\color{red}{-3}}$$

$$E + P = 9$$

一方、ステートメントでは、文字 $O, B, M, E$ と $P$ は、ある順序で数字 $1, 2, 3, 4$ と $5.$ を表します。

したがって、

$$ \begin{aligned} \underbrace{O + B}_{1+2=3} + M + \underbrace{E + P}_{9} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\ 3 + M + 9 = 15\\ M + 12 {\color{red}{-12}} = 15 {\color{red}{-12}} \end{aligned} $$

したがって、$M = 3.$

D) 数字5を表す文字は何ですか?

チャレンジ
  • すでに $O = 1$ と $B = 2$ があります。
  • 3行目から$M + E = 7$が続きます
    • $E=7-3 = 4$
  • したがって、$P = 5$

演習 2

30 cm 定規には、示されているように大、中、小のマークがミリメートル単位で目盛りされています。 図の中で。

チャレンジ

A) 11 番目の小マークと 3 番目の中マークの間の距離は何ミリメートルですか?

チャレンジ
  • 中央の 3 番目のマークは 2,5 cm (25 mm) をマークします。
  • 11 番目の小さなマーキングは 1,3 cm (13 mm) を示します。
  • これらのマーク間の距離 (ミリメートル単位) は $25 - 13 = 12$ mm です。

B) 定規全体に小さな印は何個ありますか?

チャレンジ
  • ティック数は $5-1 = 4$ ティックです。
  • 1 ペアには $8$ マークが付いています。
  • 1 30 cm 定規には $30 \times 8 = 240$ のマークが付いています。

C) 215 番目の小さなマークから 73 ミリメートル離れたマークは何ですか?あなたの答えを正当化してください。

どの大きなマーキングのペアの間に 215 番目の小さなマーキングがあるかを調べるには、215 を 8 で割った商を計算する必要があります。

チャレンジ $$D=d\times q +r$$

$$215 = 26 × 8 + 7$$
  • 215 番目の小さなマーカーは、26 番目の大きなマーカーのペアの後の 7 番目の小さなマーカー上にあります。
  • 次に、215 番目の小さなマークは 26,8 cm (268 mm) をマークします。
  • 215 番目の小さなマーキングから 73 ミリメートルの距離にあるマーキングは、必ずこの前に発生します。 マーキングしないとルール外になります。
  • 215 番目のマークから 73 ミリメートルの距離にあるマークは小さなマークです。
  • 20回目の平均刻印で$268 - 73 = 195$mm。

演習 3

アリス、ベアトリス、クラウディアは、長さ 200 メートルの通りに住んでいます。 アリスは通りの始まりに住んでおり、ベアトリスは通りの終わりのアリスとクラウディアから 80 メートル離れています。 道。彼らは時々会いますが、いつも家を出ています。

チャレンジ

A) アリスとベアトリスが出会ったときに移動する距離の合計はいくらですか? クラウディアの家に集まる？

チャレンジ
  • アリスからクラウディアまでの距離を $d_{ac} = 200m$ とします。
  • ベアトリスからクラウディアまでの$d_{bc}= 200-80=120m$距離
  • $d_{abc}$ アリスからクラウディアまでの距離、ベアトリスからクラウディアまでの距離
$$d_{abc} = d_{ac} + d_{bc} = 200 + 120 = 320 m$$

B) アリス、ベアトリス、クラウディアが道路の始まりから 150 メートルの通りで出会った場合、距離の合計はいくらになりますか 彼らは何を経験するのでしょうか？

チャレンジ
  • アリスから集合場所までの距離を$d_{ae} = 150m$とすると、
  • クラウディアから集合場所までの$d_{ce}= 50m$距離
  • ベアトリスから集合場所までの$d_{be}= 150-80 = 70m$距離
  • $d_{t}$ 総距離
$$d_{t} = d_{ae}+ d_{ce} + d_{be} = 150 + 50 + 70 = 270 m$$

C) 3 人の友人は、移動する距離の合計が できるだけ小さくしてください。通りの始まりから何メートル離れたところで会えばよいでしょうか?

チャレンジ
  • アリスとクラウディアの間の移動距離の合計は、どの集合場所でも常に 200 メートルになります。
    • $d_{ac} + d_{ca}= 200m$ アリスからクラウディアまでの距離、クラウディアからアリスまでの距離
  • 移動距離をできるだけ短くするために、ベアトリスは決して家から出るべきではありません。つまり、待ち合わせ場所はベアトリスの家でなければなりません。
    • ベアトリスからクラウディアまでの$d_{bc}= 0$距離。

したがって、最小距離は200mとなります。

演習 4

ジャナイナは、長さ 16 cm、幅 6 cm の長方形のボール紙を 4 つの三角形に切りました 図に示すように、等しい長方形になります。

チャレンジ

A) これらの三角形のそれぞれの面積はいくらですか?

チャレンジ
  • 4 個の三角形が等しい仕組み
  • ダンボールシートの面積を計算して4で割るだけです。
  • したがって、これらの三角形の面積は cm² に等しいことになります。
$$A_{\text{tri}} = \dfrac{A_{\text{quad}}}{4} = \dfrac{16\times 6}{4} = 24 cm^2$$

B) 次に、ジャナイナは 4 つの三角形を使って穴のある正方形を組み立てました 内部は図のようになります。穴の面積はどれくらいですか？

チャレンジ
  • 正方形の中心にある穴には、三角形の 2 つの辺の寸法の差に等しいサイズの辺があります。
  • 正方形の一辺$=8 - 6 = 2$cm。
  • したがって、穴の面積は$A_{\text{quad}} = 2 \times 2 = 4 cm^2$となります。

C) ジャナイナが組み立てた正方形の一辺の長さはどれくらいですか?

チャレンジ
  • ジャナイナが作成した正方形の面積は、4 個の三角形の面積の合計に穴の面積を加えたものに等しくなります。
  • したがって、この正方形の面積は次のようになります。
$$ \begin{aligned} A_{\text{total} } &= \underbrace{ A_{\text{cartolina} } }_{ \text{item a} } + \underbrace{ A_{\text{buraco} } }_{ \text{item b} }\\ &= 96 + 4=\\ &= 100 cm^2\\ &= \underbrace{10}_{\text{lado}} \times 10 cm^2\\ \end{aligned} $$

したがって正方形の一辺は$10 cm$となります。

演習 5

マルコは、3 × 3 のマスに 1、2、3、4、5、6、7、8、9 の数字を繰り返さずに埋めます。

チャレンジ

A) マルコはマス目に書かれた 4 つの数字が揃うようにマス目を埋めました 2 × 2 の合計が最小となるように強調表示されます。書かれた 5 つの数字の合計は何ですか この広場の外？

チャレンジ
  • 1、2、3、4、5、6、7、8、9の番号から4つの番号を選択します。
  • 取得できる最小の合計は、これらの数値が最小の場合に発生します。
  • マイナー合計 $=1 + 2 + 3 + 4 = 10$。
  • この正方形の外側に、5、6、7、8、9 という数字を書きました。
  • 合計 $=5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35.$

B) マルコはなんとか別のマスを埋めることができ、そのマスに書かれた数字の合計が 2 × 2 の強調表示は 21、もう 1 つは 26 です。以下の 2 つの図は、この同じグリッドを表したものです。 マルコがマス目の中央の四角に書くことができた最小の数字は何ですか?

チャレンジ
  • これら 2 つの広場に共通する中央の家は黄色です。
  • 灰色の家は、右上隅に 1 つと左下隅に 1 つあり、ハイライト表示された四角形の外側にあります。
  • マルコが強調表示された四角形に書いた数字の合計は、 21 + 26 = 47 に等しくなります。

この合計は次のとおりです。

$$ \text{azul} + \text{amarelo} + \text{amarelo} + \text{vermelho} = 47$$

マルコが書いたすべての数字の合計は

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$$

これは次のように書かれています

$$ \text{cinza}+ \text{cinza}+ {azul} + \text{amarelo} + \text{vermelho} = 45$$

両面に黄色のピースを追加するスケール法を使用します。

$$ \begin{aligned} 45 + \text{amarelo} &= \underbrace{\text{cinza}+ \text{cinza}}_{\text{menor soma} = 1 +2=3}+ \underbrace{\text{azul} + \text{amarelo} + \text{amarelo} + \text{vermelho} }_{47} \\ 45 + \text{amarelo} &= 3 + 47 \\ 45 + \text{amarelo} &= 50 \\ \text{amarelo} &= 5 \\ \end{aligned} $$

C) マルコは 3 番目のマス目を埋めることができ、4 つのマス目に書かれた数字の合計が 強調表示されている2×2のマスは18、25、21、24です。さらに四隅に書かれた数字の合計が グリッドの3×3は16となります。以下の 4 つの図は、この同じグリッドを表したものです。何があったのですか マルコが中央のボックスに書いた数字は何ですか？

チャレンジ

色の可能性をまとめると、次のようになります。

  • 赤いピースが 4 回出現します
  • 青いピースが 2 回出現します
  • 黄色のピースが 2 回出現します
  • これらの部分の合計は 88 になります
$$4\text{vermelho}+2\text{azul}+1\text{amarelo}= 88$$

一方、取り得る数値の合計は45です。

$$\text{vermelho}+\text{azul}+\text{amarelo}= 1 + 2+3+4+5+6+7+8+9=45$$

2をかけると

$$2\text{vermelho}+2\text{azul}+2\text{amarelo}= 90$$

2 つの式から一方をもう一方から引くことができます。

$$ \begin{cases} 2\text{vermelho} & + 2\text{azul} & + 2\text{amarelo} = 90\\ 4\text{vermelho} & + 2\text{azul} & + 1\text{amarelo} = 88 \end{cases} $$

得ます

$$1\text{amarelo}- 2\text{vermelho}= 2$$

$$1\text{amarelo}= 2 + 2\text{vermelho}$$

このステートメントから、角 (黄色の部分) の合計は 16 に等しいことがわかります。これから、次のことがわかります。

$$1\text{amarelo}= 2 + 2\text{vermelho}$$

$$16= 2 + 2\text{vermelho}$$

$$2\text{vermelho} = 14$$

$$\text{vermelho} = \dfrac{14}{2} = 7$$

したがって、赤い駒は7の価値があります。