Euler's Eyes
2026-10-11
タレスの定理
平行線の束は、2 つの横断線を比例した部分に切断します。これは、計算を行わずにボードを均等な部分に分割するという考えに基づいています。
発見者
その結果はミレトスの物語 (紀元前6世紀) と呼ばれ、伝統により影による大ピラミッドの高さの測定と関連付けられています（章の冒頭でそれについての好奇心を参照）。私たちが知っている実証はユークリッドの原論の命題VI.2 (c. 300 BC) にあるもので、三角形の面積を使用しています。この結果に対する「テイルズの定理」という名前は、ブラジル、ポルトガル、フランス、スペイン、イタリアなどの国々の伝統です。ドイツ語と英語では、同じ名前が半円に内接する角度を指します。
歴史
タレスが定理を証明したという記録はありません。情報筋によると、彼は高さと距離を測定するために比例を使用したということです。ユークリッドの証明は不可分分にも機能する必要があり、そのため第 V 巻のエウドクソスの比例理論に基づいています。
この名前は 19 世紀末にフランスの教科書に載ったようで、そこからブラジルの教育に伝わりました。半円の角度をタレスに帰したものはさらに古く、ディオゲネス・ラエルシオに由来しています。
日常生活での応用
- 板を均等な部分に分割します。 大工は、「丸い」寸法 (例: 30 cm ～ 5 部分) が端から端まで収まるまで板の上で巻尺を傾け、6 ～ 6 cm までのマークを付けます。マークは幅を均等な部分に分割します。
- 縮尺。 地図、モデル、平面図はオリジナルの比率を維持します。
- 譜表とグリッド。 等間隔の平行線は、傾斜した線を等分にカットします。
- 遠近感。 設計者は、図面内で離れて移動する柱や窓の間隔を比例的に配置します。
出典: Tales (MacTutor) · Elements、命題 VI.2 · Elements、book V。
理論と作図
定義平行ビームと横ビーム
- 平行線のビームは、互いに平行なコプレーナ線の集合です。
- 梁の横断 とは、梁のすべての直線を切断する平面上の直線です。
- 2 つの横断線の対応する点は梁の同じ直線上にあります。 対応するセグメントの対応する点に端点があります。
性質一致する部分
2 本の直線が別個の平行線の束の横断線であり、一方の線分が $p$ 個の合同な部分に分割され、その束の直線が分割点を通過する場合、もう一方の横断線の対応する線分も互いに合同な $p$ 個の部分に分割されます。
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第 1 部分 (部分の数)。 対応するセグメントがより少ない (またはより多くの) 部分に分割されている場合、ビームの少なくとも 2 つの直線が交わることになります。これらは平行であるため、不合理です。
2 番目の部分 (合同)。 2 番目の横断線の分割点を通して、最初の横断線と平行線を描きます。平行四辺形と三角形は、$x$ に一致する辺と、それぞれ平行な辺を持つ角度で形成されます。 ALA によると、三角形はすべて合同です。したがって、2 番目の横線の部分は合同です。
定理タレスの定理
2 本の線が平行線の束の横線である場合、それらの一方の 2 つのセグメント間の比率は、もう一方の対応するセグメント間の比率に等しくなります。
$$\frac{AB}{CD} = \frac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}}, \qquad\text{ou ainda}\qquad \frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}} = \frac{CD}{C^{\prime}D^{\prime}}.$$対応するセグメント間の比率は一定です。
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1 番目のケース: $\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ は可補可能です。 $\overline{AB}$ の $p$ 倍と $\overline{CD}$ の $q$ 倍に適合するセグメント $x$ があります: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{p}{q}$。前のプロパティ $A^{\prime}B^{\prime} = p\,x^{\prime}$ と $C^{\prime}D^{\prime} = q\,x^{\prime}$、次に $\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}} = \dfrac{p}{q}$ を使用して、分割点を通るビーム直線を描画します。
2 番目のケース: 非通約可能。 $\overline{CD}$ の $n$ 倍に適合する $y$ を取得します。次に $m\,y < AB < (m+1)\,y$ から $m$、つまり $\dfrac{m}{n} < \dfrac{AB}{CD} < \dfrac{m+1}{n}$ になります。前のプロパティによれば、$\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{C^{\prime}D^{\prime}}$ についても同じことが当てはまります。 $y$ を減少させる ($n$ を増加させる) と、分数 $\dfrac{m}{n}$ と $\dfrac{m+1}{n}$ は両方の比率に等しい単一の実数を定義します。
例セグメントを等しい部分に分割する
$\overline{AB}$ を $p$ の合同な部分に分割するには、$A$ を通る補助半線を引き、その上にコンパスで $p$ の等しいセグメントをマークし、最後のマークを $B$ に接続し、他のマークを介してこの線と平行に描きます。タレスの定理により、$\overline{AB}$ を $p$ の合同部分に分割します。
性質三角形の一辺に平行
三角形の一辺に平行な直線で他の二辺を切り、それらを同じ比率で分割します。逆に、$D \in \overline{AB}$と$E \in \overline{AC}$で$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$の場合は$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$となります（演習427）。